Выборка

Выборкой называется набор значений некоторой величины, которые выбраны для изучения всей совокупности. Часто выборку формируют случайным образом и говорят о случайной выборке.

Давайте поговорим о выборках на примере роста человека.

Ребята, как вы понимаете, рост незнакомого человека предсказать заранее невозможно. Для исследователя эта величина является случайной. Но если измерить рост многих случайно выбранных людей, то станет видна некоторая закономерность. Чтобы в этом убедиться, мы с вами обсудим данные о росте человека с помощью трёх выборок – малой, средней и большой.

Начнём с малой выборки.

В таблице приведены данные о росте 10 случайно выбранных девочек в возрасте 13 лет.

Эти числа показывают, что рост человека изменчив.

Давайте пополним выборку, добавив к 10 имеющимся значениям ещё 10.

Эти числа ещё раз подтверждают, что рост человека изменчив.

Среднее значение и медиана этой выборки несколько другие. Размах вырос до 20 см.

Единственной закономерностью, которую можно заметить, посмотрев ещё раз на таблицы данных, является то, что среднее арифметическое и медиана более устойчивы, чем результаты отдельных измерений.

Обсудим данные о росте человека на примере средней выборки.

К 20 имеющимся значениям роста добавим ещё 30.

Среднее значение роста в этой выборке и медиана мало отличаются от тех, что были получены для первых двух выборок. Размах равен 24 см. Он снова вырос. И это естественно. Ведь чем больше человек мы случайно выбираем, тем больше шансы, что среди них попадутся более высокие и более низкие люди. Поэтому размах значений может увеличиваться, а среднее значение роста остаётся практически неизменным.

Изучать эту совокупность чисел, читая одно значение за другим, трудно. Лучше представить этот набор значений наглядно, например, в виде гистограммы.

Высота столбика показывает, сколько в выборке девочек с заданным ростом. Обратите внимание, что большинство значений сконцентрировано вблизи среднего значения.

Эта гистограмма напоминает двускатную горку. Правда, горка получилась с ямами и обрывами.

Теперь обсудим данные о росте человека на примере большой выборки.

Добавим к имеющимся 50 значениям ещё 250 новых случайно выбранных значений.

Представим получившийся набор данных наглядно и получим вот такую гистограмму.

Размах вырос до 26 см. А вот среднее значение изменилось мало.

Заметим, что внешнее сходство гистограммы с двускатной горой усилилось, а ямы сгладились.

Посмотрите на колоколообразную линию, к которой приближается контур гистограммы с ростом числа наблюдений. Зная форму этой линии, можно примерно указать долю девочек, рост которых находится в заданных пределах.

Чтобы объяснить, почему получается именно такая форма, давайте представим, что каждая девочка заняла своё место на числовой прямой. Девочек маленького роста совсем мало. Точно так же мало высоких девочек. Поэтому края получившейся гистограммы низкие. Большинство девочек среднего роста или около среднего роста, поэтому центральная часть гистограммы высокая.

Опыт показывает, что не только рост людей подчиняется такой закономерности. Похожий характер имеет изменчивость атмосферного давления, размера листьев на деревьях, массы шоколадных батончиков и многих других величин. Но следует отметить, что не все случайные величины подчиняются такому или похожему закону.

Поведение многих изменчивых величин подчиняется закономерностям, которые проявляются при изучении больших наборов значений. Разным видам изменчивости соответствуют гистограммы разной формы.

Изучение закономерностей распределения разных случайных величин – одна из задач теории вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Итак, мы с вами провели небольшое выборочное исследование роста девочек в возрасте 13 лет. В завершение занятия отметим, что ценность выборочных исследований в том, что даже не очень большие случайные выборки хорошо отражают свойства всей изучаемой совокупности данных.

До встречи на наших следующих занятиях!