Уравнение линии на плоскости

На уроках алгебры, мы с вами уже знакомились с графиками некоторых функций. Давайте вспомним, как выглядит, например, график линейной функции, график квадратичной функции, график обратной пропорциональности, график функции .

Давайте рассмотрим отдельно график линейной функции y= x. Если мы возьмем произвольные точки на этом графике, например, М₁ и М₂, то координаты этих точек будут удовлетворять следующему условию: x=y.

Это же условие будет выполняться для любой точки, лежащей на этой прямой. Но если мы возьмем любую точку вне этого графика, то координаты этой точки не будут удовлетворять условию: x=y. В таких случаях говорят, что уравнение y=x является уравнением прямой M₁M₂.

Теперь давайте попробуем ввести понятие уравнения для произвольной линии.

Пусть в декартовой системе координат дана произвольная линия l. Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Например, уравнением параболы, которая изображена на рисунке будет уравнение y=x².

Для того, чтобы в этом убедится, давайте возьмем две точки: одну на параболе, вторую – вне параболы. Подставив координаты обеих точек в уравнение y=x², мы увидим, что координаты точки, лежащей на параболе, удовлетворяют нашему уравнению, а координаты точки, которая не лежит на параболе – не удовлетворяют. Очевидно, что координаты всех точек, которые лежат на параболе, будут удовлетворять этому уравнению.

Давайте решим задачу.

Задача. Записать уравнение, которое задает линию:

Решение.

Ответ: .

Рассмотрим еще один пример.

Задача. Записать уравнение, которое задает линию:

Решение.

 По рисунку видно, что эта линия будет являться графиком функции
. По графику видно, что он проходит например, через точку с координатами (5;-2). Поскольку координаты этой точки должны удовлетворять искомому уравнению, то подставим их в уравнение. Получим, что данную линию задает уравнение

Ответ: .

Задача. Построить линию, которую задает уравнение .

Решение.

Такие задания мы делали в курсе алгебры. Построим таблицу значений. Поскольку, это линейная функция, то достаточно взять две точки.

Задача. Построить линию, которую задает уравнение .

Решение.

Отметим получившиеся точки на координатной плоскости, соединим их плавной линией и получим кривую

Давайте подведем итоги нашего урока. Сегодня на уроке мы познакомились с таким понятием как уравнение  линии. Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.