Уравнение окружности

Прежде всего, давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Сегодня на уроке мы попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

В качестве линии рассмотрим окружность радиуса  с центром в точке .

Пусть центр окружности имеет координаты . Возьмем на окружности произвольную точку . Запишем формулу расстояния между точками C и M. Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC равно r. Возведем MC в квадрат и получим уравнение MC² = r². Заменим MC² квадрат на выражение  и получим, что если точка лежит на окружности с радиусом r и центром в точке C, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению . Если точка не лежит на окружности, то расстояние от этой точки до центра окружности не равно радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному уравнению. Поэтому можно сказать, что в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C с координатами  имеет вид: .

Задача. Записать уравнение окружности с радиусом  и центром в начале координат.

Решение.

Начало координат имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что уравнение окружности с радиусом r и центром в начале координат имеет вид

.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего, определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.

 Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом равным двум.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего определимся с координатами центра окружности.

Это будут числа -4 и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение. Уравнениями такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 9.

Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.

Теперь давайте попробуем решить задачу обратную данным.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Как и в предыдущих задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр окружности имеет координаты (0;0).

Нетрудно заметить, что радиус окружности равен 4.

Запишем уравнение окружности и подставим найденные значения.

Ответ: .

Решим еще одну задачу.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

Ответ:.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

Ответ:.

Решая задачи, мы с вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот порядок.

Для того, что бы составить уравнение окружности и построить ее надо:

1. Найти координаты центра окружности.

2. Найти длину радиуса этой окружности.

3. Записать уравнение окружности.

4. Подставить полученные значения в уравнение окружности.

5. Построить окружность, если это требуется для решения задачи.

Рассмотрим еще одну задачу.

Написать уравнение окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм имеет координаты шесть три.

Задача. Написать уравнение окружности с диаметром , если , .

Решение.

Найдем координаты центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра. Воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка.

Получим, что центр окружности имеет координаты .

Теперь определим радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов диаметра.

Запишем общее уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что уравнение данной окружности имеет вид:

Ответ: .

Подведем итоги урока.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С (x₀; y₀) и радиусом r.

Также мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале координат и радиусом r.

Мы рассмотрели задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение окружности по заданному уравнению.