Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте повторим формулу для нахождения координат середины отрезка
, , формулу для определения расстояния между двумя точками , вспомним, что называется уравнением линии l, запишем уравнение окружности с радиусом r и центром в точке C (x0;y0). Вспомним уравнение окружности радиуса r и центром в начале координат .
Сегодня на уроке мы выведем уравнение произвольной прямой l.
В координатной плоскости прямая может располагаться либо вертикально (параллельно оси Oy), горизонтально (параллельно оси Ox) либо быть наклонной к обеим осям.
Первым давайте рассмотрим случай, когда прямая параллельна оси Oy.
Возьмем на оси Ox, например, точку с координатой 3 и проведем через эту точку прямую, параллельную оси Oy. Абсцисса любой точки этой прямой равна 3. То есть координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению x=3, а координаты любой точки, которая не лежит на данной прямой не удовлетворяют данному уравнению. Значит, уравнение x=3 является уравнением прямой параллельной оси Oy и проходящей через точку с координатами (3;0).
Можно сказать, что произвольная прямая параллельная оси Oy задается уравнением . Уравнение является уравнением оси .
Задача. Записать уравнения прямых, показанных на рисунке:
Решение.
Для того, чтобы записать уравнение каждой прямой, запишем общее уравнение прямых параллельных оси Oy.
Рассмотрим теперь случай когда прямая параллельна оси Ox.
Возьмем на оси Oy, например, точку 5 и проведем через нее прямую параллельную оси Ox. Любая точка этой прямой удовлетворяет уравнению y=5, любая точка, которая не лежит на этой прямой не удовлетворяет этому уравнению, значит, эту прямую задает уравнение y=5.
Можно сказать, что произвольная прямая параллельная оси Ox задается уравнением .Ось Ox задается уравнением .
Задача. Записать уравнения прямых, показанных на рисунке:
Решение.
Запишем общее уравнение прямых параллельных оси Ox.
.
Теперь рассмотрим случай, когда прямая наклонная к обеим осям.
Отметим на координатной плоскости точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2) так, чтобы указанная прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB.
Теперь возьмем произвольную точку M (x;y). Если точка M лежит на прямой l, то, очевидно, что длины отрезков AM и BM будут равны. Найдем эти отрезки и приравняем их.
Получим уравнение:
Если точка M не лежит на прямой, то, очевидно, что отрезки AM и BM не будут равны и координаты точки M не будут удовлетворять этому уравнению.
Значит, в прямоугольной системе координат уравнение прямой l имеет вид:
.
Раскроем скобки и выполним элементарные преобразования.Введем замену. ;
Получим уравнение .
Так как в самом начале мы говорили, что точки A и B – различные точки, то хотя бы одна из разностей , не равна нулю, то есть хотя бы один из коэффициентов a и b не равен нулю. То есть можно сказать, что уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени и имеет вид: .
Задача. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и .
Решение.
Ответ:
Предположим, что в этом уравнении коэффициент .
Тогда получим уравнение .
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Отметим, что две параллельные прямые, не параллельные оси Oy имеют одинаковые угловые коэффициенты и если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.
Задача. Записать угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и .
Решение.
d
Ответ:
Задача. Среди предложенных уравнений прямых выберите те, которые задают прямые, параллельные прямой
а) б) в) г) .
Решение. Мы говорили, что две параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, поэтому искомыми уравнениями будут только уравнения
а)
б)
в)
г)
Ответ: б) г) .
Задача. Укажите пары параллельных прямых
а) и б) и
в) и .
Решение.
а)
б)
в)
Ответ: б) и .
Задача. Даны координаты вершин трапеции
. Написать уравнения прямых, содержащих диагонали .
Решение.
Запишем общее уравнение прямой .
Аналогично найдем, что уравнение прямой, которая содержит диагональ BD имеет вид y=1.
Ответ: .
Давайте подведем итоги урока.
Уравнение прямой имеет вид: . Еще один вид уравнения прямой – – угловой коэффициент прямой.
Уравнение прямой, параллельной оси Ox имеет вид . Уравнение прямой, параллельной оси Oy имеет вид .
Две параллельные прямые, не параллельные оси о игрек имеют одинаковые угловые коэффициенты и если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.