Уравнение прямой

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте повторим формулу для нахождения координат середины отрезка

, , формулу для определения расстояния между двумя точками , вспомним, что называется уравнением линии l, запишем уравнение окружности с радиусом r и центром в точке C (x₀;y₀). Вспомним уравнение окружности радиуса r и центром в начале координат .

Сегодня на уроке мы выведем уравнение произвольной прямой l.

В координатной плоскости прямая может располагаться либо вертикально (параллельно оси Oy), горизонтально (параллельно оси Ox) либо быть наклонной к обеим осям.

Первым давайте рассмотрим случай, когда прямая параллельна оси Oy.

Возьмем на оси Ox, например, точку с координатой 3 и проведем через эту точку прямую, параллельную оси Oy. Абсцисса любой точки этой прямой равна 3. То есть координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению x=3, а координаты любой точки, которая не лежит на данной прямой не удовлетворяют данному уравнению. Значит, уравнение x=3 является уравнением прямой параллельной оси Oy и проходящей через точку с координатами (3;0).

Можно сказать, что произвольная прямая параллельная оси Oy задается уравнением . Уравнение  является уравнением оси .

Задача. Записать уравнения прямых, показанных на рисунке:

Решение.

Для того, чтобы записать уравнение каждой прямой, запишем общее уравнение прямых параллельных оси Oy.

Рассмотрим теперь случай когда прямая параллельна оси Ox.

Возьмем на оси Oy, например, точку 5 и проведем через нее прямую параллельную оси Ox. Любая точка этой прямой удовлетворяет уравнению y=5, любая точка, которая не лежит на этой прямой не удовлетворяет этому уравнению, значит, эту прямую задает уравнение y=5.

Можно сказать, что произвольная прямая параллельная оси Ox задается уравнением .Ось Ox задается уравнением .

Задача. Записать уравнения прямых, показанных на рисунке:

Решение.

Запишем общее уравнение прямых параллельных оси Ox.

.

Теперь рассмотрим случай, когда прямая наклонная к обеим осям.

Отметим на координатной плоскости точки с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) так, чтобы указанная прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Теперь возьмем произвольную точку M (x;y). Если точка M лежит на прямой  l, то, очевидно, что длины отрезков AM и BM будут равны. Найдем эти отрезки и приравняем их.

Получим уравнение:

Если точка M не лежит на прямой, то, очевидно, что отрезки AM и BM не будут равны и координаты точки M не будут удовлетворять этому уравнению.

Значит, в прямоугольной системе координат уравнение прямой l имеет вид:

.

Раскроем скобки и выполним элементарные преобразования.Введем замену. ;

Получим уравнение .

Так как в самом начале мы говорили, что точки A и B – различные точки, то хотя бы одна из разностей ,  не равна нулю, то есть хотя бы один из коэффициентов a и b не равен нулю. То есть можно сказать, что уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени и имеет вид: .

Задача. Написать уравнение прямой, проходящей через точки  и .

Решение.

Ответ:

Предположим, что в этом уравнении коэффициент .

Тогда получим уравнение .

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Отметим, что две параллельные прямые, не параллельные оси Oy имеют одинаковые угловые коэффициенты и если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

Задача. Записать угловой коэффициент прямой, проходящей через точки  и .

Решение.

d

Ответ:

Задача. Среди предложенных уравнений прямых выберите те, которые задают прямые, параллельные прямой

а)       б)      в)      г) .

Решение. Мы говорили, что две параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, поэтому искомыми уравнениями будут только уравнения

а)

б)

в)

г)  

Ответ: б)   г) .   

Задача. Укажите пары параллельных прямых

а)  и       б)  и     

в)  и  .   

Решение.

а)

б)

в)

Ответ: б)  и .   

Задача. Даны координаты вершин трапеции

. Написать уравнения прямых, содержащих диагонали .

Решение.

Запишем общее уравнение прямой .

Аналогично найдем, что уравнение прямой, которая содержит диагональ BD имеет вид y=1.

Ответ: .

Давайте подведем итоги урока.

Уравнение прямой имеет вид: . Еще один вид уравнения прямой –  – угловой коэффициент прямой.

Уравнение прямой, параллельной оси Ox имеет вид . Уравнение прямой, параллельной оси Oy имеет вид .

Две параллельные прямые, не параллельные оси о игрек имеют одинаковые угловые коэффициенты и если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.