Взаимное расположение двух окружностей

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, каким уравнением задается окружность с центром в точке  и радиусом r.

Также вспомним уравнение окружности, центром которой является начало координат.

Запишем уравнения, которые задают произвольную прямую.

;

;

 – угловой коэффициент прямой.

Сегодня мы с вами посмотрим, как могут располагаться две окружности.

Сначала перечислим все возможные случаи взаимного расположения. Окружности могут не пересекаться. Центры окружностей могут совпадать, Окружности могут касаться друг друга, окружности могут пересекаться в двух точках.

Сначала рассмотрим случай, когда центры окружностей совпадают. Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы окружностей не равны, то такие окружности образуют кольцо. Если радиусы окружностей равны, то окружности совпадают.

Теперь давайте рассмотрим случаи, когда центры окружностей не совпадают. Соединим их прямой d, которую назовем линией центров данной пары окружностей.

В данном случае взаимное расположение окружностей будет зависеть от соотношения между величиной d и величинами радиусов окружностей. Для того, чтобы было понятно о какой окружности идет речь, радиус одной из окружностей обозначим за r, а радиус второй окружности – за R. И будем считать, что .

Если , то очевидно, что окружности не пересекаются. В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если , то тогда одна окружность лежит внутри другой, но они не пересекаются.

Если , тогда малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров. Такой случай называют внутренним касанием, а такие окружности называют внутренне касающимися.

Если , то окружности пересекаются в двух точках и называются пересекающимися.

Если , то такие окружности имеют одну общую точку, причем центр одной из них расположен за пределами второй окружности. Такой вид касания называется внешним касанием, а такие окружности называются внешне касающимися. Точка касания внешне касающихся окружностей лежит на линии центров.

Решим несколько задач.

Задача. Как располагаются окружности, если:

а) ;      б) ;        в) ;

г) ;          д) .

Решение.

а)

б)

в)

г)

д)  

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача. Наименьшее расстояние между точками двух концентрических окружностей равно , а наибольшее равно . Найдите радиусы этих окружностей.

Решение.

Ответ: .

Задача. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как . Найти диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна  см.

Решение.

                           (см)  

Ответ: .

Задача. Даны два круга – один внутри другого. Через их центры проведен в большем круге диаметр, который делится окружностью меньшего круга на три части, равные . Найти расстояние между центрами кругов.

Решение.

,  

, .

Найдем радиусы окружностей.

Ответ: .

Подведем итоги урока. Сегодня мы рассмотрели варианты расположения двух окружностей в пространстве в зависимости от соотношения расстояния между центрами окружностей и их радиусами.