В курсе геометрии 8 класса, мы с вами уже знакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Давайте вспомним их.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
;
Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30, 45 и 60 градусов. Давайте вспомним ее.
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0 до 180º.
Построим в прямоугольной системе координат полуокружность радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат.
Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки О давайте проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность с точке М (0;0). Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за α. Если луч h совпадает с положительным направлением оси Ox, то угол α равен 90º. Если луч h совпадает с осью Oy, то угол α= 90º. Если луч h совпадает с отрицательным направлением оси Ox, то угол α= 180º. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМD.
Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM=1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD=y, а ОD=x. Тогда , . Мы получили, что синус острого угла равен ординате точки М, а косинус угла α равен абсциссе точки М. По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.
Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки
Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменятся от 0 до 1, значит, и синус угла α может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменятся от -1 до 1, то есть и косинус угла α из промежутка от 0 до 180º может изменятся от -1 до 1.
Задача. Может ли:
а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна ?
б) ордината точки единичной полуокружности быть равна ?
Решение.
а) Поскольку полуокружность единичная, значит абсцисса точки должны принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна , но не может быть равна 4 и 5.
б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна но не может быть равна .
Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:
Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА. На единичной полуокружности точка А имеет координаты (1;0), значит , а .
Найдем теперь значение sin90 º и cos 90º. Этот угол задается лучом ОB. Координаты точки B равны (0;1), значит, , .
Проводя аналогичные рассуждения, получим , .
Задача. Определить координаты точки , если:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а)
б)
в)
Ответ: ; ; .
Решим теперь обратную задачу.
Задача. Определить , , если:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а)
б)
в)
Тангенсом острого угла мы называли отношение
. Эта же
формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако,
если угол равен 90º, то его cos 90º=0, а
значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить
нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы
немного уточнили определение тангенса.
Тангенсом угла , называется .
Котангенсом острого угла мы называли отношение . Эта же
формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако,
если угол равен 0º или 180º, то sin равен 0,
а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить
нельзя, поэтому
, – не существует. Таким образом, мы немного уточнили
определение котангенса.
Котангенсом угла , называется .
Задача. Определить , , если:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение.
а)
б)
в)
г)
д)
Давайте занесем полученные данные в таблицу и составим таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º.
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы определили, что Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки
Тангенсом угла , называется .
Котангенсом угла , называется .
Также мы дополнили известную нам таблицу значений синуса, косинуса и тангенсов для некоторых углов.