Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, что для любого угла  синусом угла  называется ордината  точки М,

а косинусом угла  – абсцисса  точки М.

Тангенсом угла  называется .

Котангенсом угла  называется .

Повторим таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых углов.

Еще вспомним уравнение окружности радиуса  с центром в точке :

Уравнение окружности радиуса  с центром в начале координат имеет вид:

Давайте изобразим единичную полуокружность.

Эта полуокружность – это часть окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Тогда уравнение этой окружности можно записать в виде

. То есть координаты всех точек должны удовлетворять этому уравнению.

Но координаты точки окружности есть не что иное, как косинус и синус угла, который соответствует этой точке. Тогда,
. Это равенство выполняется для любого угла . Мы доказывали подобное равенство для острых углов прямоугольного треугольника. Напомним, что это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Задача. Лежат ли точки , , , ,  на единичной полуокружности?

Решение.

Запишем уравнение, которое задает единичную окружность. Единичной полуокружности будут принадлежать те точки единичной окружности, для которых ордината изменяется от 0 до 1.

        лежит на единичной полуокружности

        не лежит на единичной полуокружности

        лежит на единичной полуокружности

        лежит на единичной полуокружности

        не лежит на единичной полуокружности

Задача. Найти , если:

а) ;

б) .

Решение.

а)

 или  

б)

 или  

Ответ: а)  б) . 

Задача. Найти , если:

а) ;

б) .

Решение.

а)  

 или  

б)

 или  

Ответ: а)  б) . 

Давайте вернемся к единичной полуокружности и проведем два луча ОМ и ОB.

Из точки М проведем два перпендикуляра к осям и обозначим точки пересечения этих прямых с осями точками C и D. Очевидно,
.

 Если угол DОМ= α, то . Рассмотрим треугольники DОМ и МОB. Это прямоугольные треугольники с общей гипотенузой ОМ.

Давайте посмотрим на полученные равенства. Итак, если , то

,  .

Давайте проверим выполнение этих формул на конкретном примере.

Задача. Вычислить , .

Решение.

Конечно, мы можем просто подставить табличные значения и все, но давайте попробуем решить эту задачу используя формулы, которые мы только что вывели.

Аналогично выводятся формулы , для всех углов α из промежутка от 0º до 180º. Вы можете вывести их самостоятельно. Эти формулы называются формулами приведения.

Задача. Вычислить , , , , , , , .

Решение.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили основное тригонометрическое тождество. И вывели формулы приведения. Эти формулы, как мы убедились на примерах, помогают упростить вычисления синусов, косинусов углов.