Иррациональные числа

До изобретения десятичной системы счисления арифметические действия выполнялись весьма трудоёмко. Поэтому древние математики предпочитали всё более заниматься геометрией. Учёные древней Греции вместо чисел работали с длинами отрезков.

Чтобы найти длину отрезка они брали единичный отрезок и с помощью него измеряли длину другого отрезка. Смотрели, сколько раз этот единичный отрезок поместится в измеряемом отрезке.

Но, как оказалось, что не все отрезки можно так измерять.

Пример: пусть на координатной прямой отмечен единичный отрезок ОЕ. С помощью него давайте измерим длину отрезка ОА.

Смотрите, наш единичный отрезок вместился в отрезок ОА 2 раза, но при этом остался остаток отрезок ВА. Значит, число 2 есть приближённое значение с недостатком длины отрезка ОА с точностью до единицы.

Чтобы получить более точный результат, надо разделить единичный отрезок ОЕ на 10 равных частей. И посмотрим, сколько раз вместится десятая часть единичного отрезка в полученный остаток ВА. Видим, что десятая часть единичного отрезка ОЕ помещается в отрезке ВА 3 раза, но снова остался остаток - отрезок СА. Этот новый остаток меньше десятой части единичного отрезка ОЕ. Значит, число 2,3 есть приближённое значение с недостатком длины отрезка ОА с точностью до 0,1.

Чтобы получить ещё более точный результат, мы должны десятую часть единичного отрезка снова разделить на 10 равных частей. И уже сотую часть отрезка ОЕ укладывать в остаток СА и т.д.. В таком случае мы будем получать приближённые значения с недостатком длины отрезка ОА с точностью до сотых, тысячных и т.д..

В конце концов такого десятичного измерения могут представиться два случая:

1.                Либо на каком-то шаге не получится остатка и тогда результатом измерения длины отрезка будет или натуральное число, или десятичная дробь.

2.                Либо остатки будут получаться в каждом шаге и тогда результатом измерения длины отрезка будет бесконечная десятичная дробь.

Раз всякое натуральное число и всякую десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, то можно считать, что результатом десятичного измерения длины отрезка всегда является бесконечная десятичная дробь.

Пример: пусть отрезок ОА равен диагонали квадрата, стороной которого будет единичный отрезок ОЕ. Постоим на диагонали единичного квадрата новый квадрат. Нетрудно заметить, что площадь этого квадрата в 2 раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Т.к. отрезок ОА равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОА равна числу, квадрат которого равен 2.

При десятичном измерении отрезка ОА получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Потому что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.

Предположим, что число, квадрат которого равен 2, все же является рациональным. Тогда это число можно представить в виде несократимой дроби , где m – целое число, n – натуральное.

Значит должно выполняться равенство. Применяя правило возведения рациональных дробей в степень, получим что . По смыслу деления имеем . Число  чётное, значит, и равное ему число  тоже чётное. Но тогда и само число  является чётным, потому что если бы  было нечётным, то и число  тоже было бы нечётным.

Поэтому число  можно представить в виде , где  – целое число. Подставим  вместо  в равенство . Получим: . Выполним возведение в степень. Получим, . Тогда . Число чётное, значит, число  тоже чётное. Следовательно, и число  – чётное. Т.е. получили, что числитель и знаменатель дроби  – чётные числа. Это противоречит тому, что дробь  несократимая.

Значит, наше предположение, что число, квадрат которого равен 2 рациональное, не верно.

Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими.  В периодических бесконечных десятичных дробях повторяется одна или несколько цифр.  Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Каждое такое число можно записать в виде отношения , где  – целое число, а  – натуральное.

Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, которые не являются рациональными. Такие числа называют иррациональными (приставка «ир» означает «отрицание»).

Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения , где  – целое число, а  – натуральное.

Примером иррациональных чисел является  число «», которое выражает отношение длины окружности к её диаметру.

Ещё примерами иррациональных чисел будут дроби:

Множество иррациональных чисел обозначают латинской заглавной буквой .

Если к множеству рациональных чисел добавить множество иррациональных чисел, то получим множество чисел, которое называют действительными числами.

Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.

Пример 1: сравнить числа.

Пример 2: сравнить числа.

Действительные числа также можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель не равен нулю). Действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами. При выполнении действий над действительными числами их заменяют приближёнными значениями, чтобы получить более точное значение результата.

Пример 3: найти приближенное значение выражения , где , округлив предварительно  и  до сотых.

Решение:

Пример 4: найти приближенное значение площади круга, радиус которого равен 5 м (число  округлите до сотых).

Решение:

Итоги:

Повторим главное:

Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными числами.

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел.

Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.

Действительные числа также можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель не равен нулю).

Действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами.