Число сочетаний и треугольник Паскаля

Пример. Из трёх игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в парном разряде. Сколькими способами это можно сделать? Отметим, что порядок игроков не важен.

Парный разряд в большом теннисе – это игра «двое на двое»: пара игроков играет против пары соперников.

Давайте обозначим игроков буквами А, В, С и выпишем все возможные комбинации.

Получилось 6 комбинаций.

Обратите внимание, что среди полученных таким образом комбинаций есть перестановки одной и той же пары. Например, АВ и ВА – это одна и та же пара. То же самое можно сказать и про пары АС и СА, ВС и СВ.

Таким образом, различных пар всего 3: АВ, АС и ВС.

Получается, что общее число комбинаций букв А, В и С сократилось в 2 раза. А всё потому, что их двух разных букв можно составить ровно 2 перестановки.

Пример. выясним, сколькими способами можно выбрать двух игроков из четырёх заявленных на матч.

Обозначим игроков буквами А, В, С, В и выпишем все возможные комбинации.

Получилось 12 комбинаций. При этом, как и в предыдущем примере, каждая комбинация посчитана 2 раза. Поэтому различных комбинаций всего 6.

Число способов, которыми можно выбрать k предметов из множества, в котором n предметов, называется числом сочетаний из n по k и обозначается . Читается «C из n по k».

В рассмотренных примерах мы установили, что , .

Как быть в других случаях?

Если число n небольшое, то число  можно взять из треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля.

Обычно треугольник Паскаля изображаю в виде равнобедренного треугольника, поэтому столбцы в нём получаются наклонные.

Важно знать, что столбцы и строки треугольника Паскаля нумеруются начиная с 0.

Числовой треугольник, содержащий числа сочетаний, известен по крайней мере с X века. В арабских трудах он появляется не позже XII века. В Иране его называют треугольником Хайама, в Китае – треугольником Яна Хуэя. Мы называем это треугольник по имени французского учёного Блеза Паскаля, который в XVII веке издал «Трактат об арифметическом треугольнике», где подробно описал его свойства.

Пример. Найдём с помощью треугольника Паскаля число . Для этого посмотрим, какое число стоит на пересечении седьмой строки и пятого столбца.

Видим, что это число 21. А значит, .

Чтобы найти число сочетаний с помощью электронной таблицы, удобно использовать функцию ЧИСЛКОМБ().

Посмотрите, как с помощью этой функции было найдено число .

Если же число n велико, то лучше воспользоваться формулой .

Пример. С помощью этой формулы найдём число .

Обратите вниманием, что это же значение можно найти в треугольнике Паскаля на пересечении восьмой строки и пятого столбца.

Вы, наверное, обратили внимание на то, что каждая строка треугольника Паскаля начинается и заканчивается 1. И это не случайно, ведь , так как выбрать 0 предметов можно единственным способом. Также , так как выбрать все n предметов из n имеющихся можно только одним способом.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите с помощью треугольника Паскаля.

Задание второе. Найдите с помощью формулы.

Задание третье. Сколькими способами можно отобрать стартовую шестёрку игроков в волейбольном матче, если всего в команде 10 игроков?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти число . Давайте сделаем это с помощью треугольника Паскаля.

На пересечении десятой строки и шестого столбца стоит число 210. А значит,  

До встречи на следующих занятиях!