Перестановки. Факториал

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним комбинаторное правило умножения.

Такое же правило действует, если имеются предметы трёх или более типов.

Комбинаторное правило умножения для нескольких множеств.

Пример. Выясним, сколько существует различных способов составить очередь из трёх человек.

На первой позиции может быть любой из трёх человек. За ним можно поставить любого из двух оставшихся. На последнее место можно поставить только одного оставшегося человека.

Таким образом, первого человека можно выбрать тремя способами, второго – двумя способами, третьего – одним-единственным способом.

Применив комбинаторное правило умножения, получаем, что общее число способов составить разные очереди из трёх человек равно произведению 3, 2 и 1, то есть равно 6.

Посмотрите на все эти способы составить очередь из трёх человек.

Чтобы выяснить, сколько существует различных способов составить очередь из четырёх человек, будем рассуждать аналогичным образом.

На первой позиции может быть любой из четырёх человек. За ним можно поставить любого из трёх оставшихся. За ним – любого из двух оставшихся. На последнее место можно поставить только одного оставшегося человека.

Применив комбинаторное правило умножения, получаем, что общее число способов составить разные очереди из четырёх человек равно произведению 4, 3, 2 и 1, то есть равно 24.

Рассуждая таким же образом, мы получим, что если людей пятеро, то из них можно составить 120 различных перестановок. Если людей шестеро, то из них можно составить 720 различных перестановок. Если людей семеро, то из них можно составить 5040 различных перестановок.

Перестановкой из n предметов называется любой способ нумерации этих предметов (способ их расположения в ряд).

Обобщим полученные результаты.

Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n!.

Для того чтобы в различных формулах не делать исключения для числа 0, принято считать, что 0! = 1.

Рассмотрев примеры и сформулировав определения, можем сказать, что число перестановок n предметов равно n!.

Обратите внимание, как быстро растёт факториал с увеличением n. Поэтому даже для 10 предметов перестановок очень много и выписать все практически невозможно.

В электронных таблицах факториалы вычисляются с помощью функции ФАКТР().

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Катя, Лена и Оля получили номера 1, 2 и 3 для участия в соревнованиях. Запишите все возможные способы распределения этих номеров между участницами.

Задание второе. В автосервис одновременно приехали 4 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

Задание третье. Сколько существует способов раздать 5 баскетболистам номера с 1 по 5?

Задание четвёртое. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «урок» и из букв слова «правило».

Задание пятое. Найдите значение каждой из дробей.

До встречи на следующих занятиях!