Законы термодинамики

Практическая работа

Решение задач по теме: «Законы термодинамики»

Задача. 1. Молекулы азота занимают объем V₁ =2 м³ и находится под давлением p₁=1 атм. Газ нагревают, причем нагрев ведут сначала при постоянном объеме до давления p₂=5 атм, а затем при постоянном давлении до объема V₂=4 м³. Масса азота 3 кг. Газ идеальный. Определить изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу, количество тепла, переданное газу.

Решение. Задачи такого типа решать проще, если все переходы газа из одного состояния в другое представлены графически. На рисунке оба процесса перехода изображены в системе координат PV. Прямая AB – изохора, идет нагревание газа от T₁ до T₂ c соответствующим увеличением давления от p₁ до p₂ при постоянном объеме V₁. В этом процессе происходит увеличение внутренней энергии газа целиком за счет тепла (см. таблицу). Прямая BC – изобара. Ей соответствует повышение температуры, а, следовательно, и изменение внутренней энергии. Кроме того, газ, расширяясь, совершает работу.

Полное изменение энергии складывается из изменения энергии U₁ на участке AB и изменения энергии U₂ на участке BC

, .

Общее изменение внутреннее энергии есть сумма U₁+U₂:

.

Работа, совершаемая газом, графически определяется площадью под кривой ABC в системе координат PV, и складывается из работ на участках AB и BC. В нашем случае, работа на участке AB не производится, следовательно, вся работа над газом будет определяться работой на участке изобарического процесса BC

.

Количество поглощенного тепла определяется по первому началу термодинамики

.

Подставив числовые данные в формулы, определим соответственно

A= 1,01·10⁶Дж; U=5·10⁶Дж; Q=6,01·10⁶Дж.

Задача 2. Установите соотношения между молярными теплоемкостями C_P и С_V для идеального газа.

Решение. Пусть один моль идеального газа находится в цилиндре с поршнем. Закрепив поршень, повысим температуру газа на dT. Поскольку объем газа остается постоянным, то количество тепла, необходимое для такого нагревания, равно (Q)_V=C_VdT. Так как при этом не производится работа, то это тепло равно приращению внутренней энергии газа С_VdT=dU. Проведем теперь с тем же газом другой опыт. Пусть начальное состояние будет тем же самым, что и в предыдущем опыте, но поршень не закреплен, а может свободно перемещаться под постоянным внешним давлением p. По определению теплоемкости C_P для повышения температуры газа на величину dT требуется тепло (Q)_Р=C_РdT. При этом газом будет совершена работа А=pdV. Так как давление постоянно, то для моля идеального газа из уравнения Менделеева – Клапейрона:

следует, что A=d(pV)= А так как внутренняя энергия газа зависит только от температуры, то она изменится на столько же, на сколько и в предыдущем опыте. Таким образом: . Подставив вместо dU=RdT, получаем

.

Сократив правую и левую часть уравнения на конечную величину dT, получим уравнение Роберта Майера

Для одного моля газа с i степенями свободы внутренняя энергия из (1.4) U=iRT/2, тогда C_V= iR/2.