![28.11.13 Смежные и вертикальные углы.](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img0.jpg)
28.11.13 Смежные и вертикальные углы.
![Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла. Что называется биссектрисой угла? Как обозначаются углы?](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img1.jpg)
- Какая фигура называется углом?
- Объясните, что такое вершина и стороны угла.
- Что называется биссектрисой угла?
- Как обозначаются углы?
![](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img2.jpg)
Виды углов
Название угла
Рисунок
Градусная мера
менее 90 ˚
ОСТРЫЙ УГОЛ
90 ˚
ПРЯМОЙ УГОЛ
ТУПОЙ УГОЛ
90 ˚, но ˚
180 ˚
РАЗВЕРНУТЫЙ
![](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img3.jpg)
![Начертите развернутый угол АОС. Начертите произвольный луч О B , лежащий между сторонами развернутого угла. A B O C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img4.jpg)
Начертите развернутый угол АОС. Начертите произвольный луч О B , лежащий между сторонами развернутого угла.
A
B
O
C
![Определение смежных углов А А А А А А А А В В В В В В В В Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой называются смежными. О О О О О О О О С С С С С С С С ВОА и ВОС смежные](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img5.jpg)
Определение смежных углов
А
А
А
А
А
А
А
А
В
В
В
В
В
В
В
В
Определение.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой называются смежными.
О
О
О
О
О
О
О
О
С
С
С
С
С
С
С
С
ВОА и ВОС смежные
![Являются ли смежными углы AOD и BOD AO С и DO С AO С и DO В AO С, DO С и BOD ?](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img6.jpg)
Являются ли смежными углы AOD и BOD AO С и DO С AO С и DO В AO С, DO С и BOD ?
![Построение смежных углов](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img7.jpg)
Построение смежных углов
![1.Одну из сторон угла продолжить за его вершину. А 2.Получившийся угол АОС является смежным с углом АОВ. С О В 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I Угол смежный для острого угла является тупым .](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img8.jpg)
1.Одну из сторон угла продолжить
за его вершину.
А
2.Получившийся угол АОС
является смежным с углом АОВ.
С
О
В
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I
Угол смежный для острого угла является тупым .
![1. Одну из сторон угла продолжить за его вершину. 2. Получившийся угол АОС является смежным для угла АОВ. А С О В Угол смежный для тупого угла является острым .](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img9.jpg)
1. Одну из сторон угла продолжить за его вершину.
2. Получившийся угол АОС является смежным для угла АОВ.
А
С
О
В
Угол смежный для тупого угла является острым .
![Одну из сторон угла продолжить за его вершину. Получившийся угол АОС является смежным с углом АОВ А С О В Угол смежный с прямым углом является прямым](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img10.jpg)
- Одну из сторон угла продолжить за его вершину.
- Получившийся угол АОС является смежным с углом АОВ
А
С
О
В
Угол смежный с прямым углом является прямым
![C войство смежных углов Теорема. Сумма смежных углов равна 180 0 С О A B Дано : AOC и BOC – смежные. Доказать : AOC + BOC = 180 . Доказательство . 1) Так как AOC и BOC – смежные, то лучи ОА и ОВ – дополнительные, то есть, AOB – развернутый, следовательно, AOB = 180 . 2) Луч OC проходит между сторонами AOB , значит, AOC + BOC = AOB = 180 1. Сколько углов изображено на рисунке? Какие это углы? 2. Существует ли какая-нибудь взаимосвязь между этими углами?](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img11.jpg)
C войство смежных углов
Теорема.
Сумма смежных углов равна 180 0
С
О
A
B
Дано : AOC и BOC – смежные.
Доказать : AOC + BOC = 180 .
Доказательство . 1) Так как AOC и BOC – смежные, то лучи ОА и ОВ – дополнительные, то есть, AOB – развернутый, следовательно, AOB = 180 .
2) Луч OC проходит между сторонами AOB , значит, AOC + BOC = AOB = 180
1. Сколько углов изображено на рисунке? Какие это углы?
2. Существует ли какая-нибудь взаимосвязь между этими углами?
![130 0 Решите задачу D ? C A B Решение: + = 180 0 ( по свойству смежных углов ) 0 - 0 – 130 0 0 13](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img12.jpg)
130 0
Решите задачу
D
?
C
A
B
Решение: + = 180 0
( по свойству смежных углов )
0 - 0 – 130 0
0
13
![Начертите произвольный AOB . Постройте лучи OC и OD ,которые являются продолжениями к сторонам ОА и ОВ. Определение. Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. А В О D С](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img13.jpg)
Начертите произвольный AOB . Постройте лучи OC и OD ,которые являются продолжениями к сторонам ОА и ОВ.
Определение.
Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
А
В
О
D
С
![Назовите вертикальные углы. C B O А D D B B D O С N А А С D D D B B B M M M А А А С С С 15](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img14.jpg)
Назовите вертикальные углы.
C
B
O
А
D
D
B
B
D
O
С
N
А
А
С
D
D
D
B
B
B
M
M
M
А
А
А
С
С
С
15
![Построение вертикальных углов](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img15.jpg)
Построение вертикальных углов
![I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 А В Построить угол. 2.Продолжить каждую сторону угла за его вершину. О D C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img16.jpg)
I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
А
В
- Построить угол.
2.Продолжить каждую сторону угла за его вершину.
О
D
C
![Свойство вертикальных углов Теорема. Вертикальные углы равны. Дано : AOD и COB – вертикальные. Доказать : AOD= COB Доказательство . Каждый из углов AOD и COB является смежным с углом AOB . По свойству смежных углов: AOD + AOB = 180 CO В + AOB = 180 . Имеем: AOD = 180 – AOB COB = 180 – AOB . Значит, AOD = COB A D O B C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img17.jpg)
Свойство вертикальных углов
Теорема. Вертикальные углы равны.
Дано : AOD и COB – вертикальные.
Доказать : AOD= COB
Доказательство .
Каждый из углов AOD и COB является смежным с углом AOB . По свойству смежных углов:
AOD + AOB = 180
CO В + AOB = 180 .
Имеем:
AOD = 180 – AOB
COB = 180 – AOB .
Значит, AOD = COB
A
D
O
B
C
![Решите задачу по чертежу Решение: ( по свойству вертикальных углов ) 0](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img18.jpg)
Решите задачу по чертежу
Решение:
( по свойству вертикальных углов )
0
![Закончи предложение Если один из смежных углов равен 50°, то другой равен… Угол, смежный с прямым, … Если один из вертикальных углов прямой, то второй... Угол смежный с острым… Если один из вертикальных углов равен 25°, то второй угол равен… 130 ° прямой прямой тупой 25 °](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img19.jpg)
Закончи предложение
- Если один из смежных углов равен 50°, то другой равен…
- Угол, смежный с прямым, …
- Если один из вертикальных углов прямой, то второй...
- Угол смежный с острым…
- Если один из вертикальных углов равен 25°, то второй угол равен…
130 °
прямой
прямой
тупой
25 °
![Найдите неизвестные углы Найдите 1 и 2 ? 1 50 ° 2 1 + 2 = 90 ° Найдите 1 и 2 1 2 1 ? 79 ° _ 70 ° = 1 2](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img20.jpg)
Найдите неизвестные углы
Найдите 1 и 2
?
1
50 °
2
1
+
2
=
90 °
Найдите 1 и 2
1
2
1
?
79 °
_
70 °
=
1
2
![Дано: = 3 . Найти: и . ОС- биссектриса Найти BOC Найти BOC](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img21.jpg)
Дано: = 3 . Найти: и .
ОС- биссектриса
Найти BOC
Найти BOC
![](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img22.jpg)
![1. Сумма смежных углов равна…. A 360 0 B 90 0 180 0 C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img23.jpg)
1. Сумма смежных углов равна….
A
360 0
B
90 0
180 0
C
![2. Как называется угол меньше 180 0 , но больше 90 0 A острый тупой B прямой C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img24.jpg)
2. Как называется угол меньше 180 0 , но больше 90 0
A
острый
тупой
B
прямой
C
![3. Чему равен угол, если смежный с ним равен 47 0 ? A 133 0 B 47 0 43 0 C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img25.jpg)
3. Чему равен угол, если смежный с ним равен 47 0 ?
A
133 0
B
47 0
43 0
C
![4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 6 часов? A тупой B развернутый C прямой](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img26.jpg)
4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 6 часов?
A
тупой
B
развернутый
C
прямой
![5. Найдите С О В 77 0 А A 103 0 D 10 3 0 B 3 0 C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img27.jpg)
5. Найдите
С
О
В
77 0
А
A
103 0
D
10 3 0
B
3 0
C
![6. Найдите 54 0 A С О В А 54 0 126 0 B D 36 0 C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img28.jpg)
6. Найдите
54 0
A
С
О
В
А
54 0
126 0
B
D
36 0
C
![7. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. A 90 0 и 100 0 60 0 и 120 0 B 40 0 и 80 0 C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img29.jpg)
7. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.
A
90 0 и 100 0
60 0 и 120 0
B
40 0 и 80 0
C
![8. Угол равен 72 0 . Чему равен вертикальный ему угол? A 18 0 108 0 B 72 0 C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img30.jpg)
8. Угол равен 72 0 . Чему равен вертикальный ему угол?
A
18 0
108 0
B
72 0
C
![9. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают три часа? острый A тупой B прямой C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img31.jpg)
9. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают три часа?
острый
A
тупой
B
прямой
C
![Проверь себя. 1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. B 7. B 8. C 9. C](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img32.jpg)
Проверь себя.
1. C
2. B
3. A
4. B
5. B
6. B
7. B
8. C
9. C
![Образец оформления решения задачи При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 43 0 . Найдите величины остальных углов . МК PF = О Дано: F МО F = 43 ° M 43 0 FOK, KOP, POM. Найти: Решение: 1. КОР = МО F = 43 ° ( т.к. вертикальные) O 2. МО F + FOK = 180 ° ( т. к. они смежные). Значит, FOK = 180 ° - МО F = 180 ° - 43 ° = 137 ° P K 3. POM = FOK = 137 ° ( т.к. вертикальные ) Ответ: 137 0 , 43 0 , 137 0](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img33.jpg)
Образец оформления решения задачи
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 43 0 . Найдите величины остальных углов .
МК PF = О
Дано:
F
МО F = 43 °
M
43 0
FOK, KOP, POM.
Найти:
Решение:
1. КОР = МО F = 43 ° ( т.к. вертикальные)
O
2. МО F + FOK = 180 ° ( т. к. они смежные). Значит, FOK = 180 ° - МО F = 180 ° - 43 ° = 137 °
P
K
3. POM = FOK = 137 ° ( т.к. вертикальные )
Ответ: 137 0 , 43 0 , 137 0
![Задача 1. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов равен 102 0 . Задача 2. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз меньше другого. Задача 3. Чему равны смежные углы, если один из них на 30 0 больше другого? Задача 4. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 98 0 .](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img34.jpg)
Задача 1. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов равен 102 0 .
Задача 2. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз меньше другого.
Задача 3. Чему равны смежные углы, если один из них на 30 0 больше другого?
Задача 4. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 98 0 .
![Обучающая самостоятельная работа 1 . На рисунке изображены прямые АС и В D , пересекающиеся в точке О. Дополните записи: С В ВОС и . . . - вертикальные, ВОС и . . . - смежные, СО D и . . . - вертикальные, СО D и . . . - смежные. o D А 2. Начертите угол МОК. Постройте смежный с ним: а) угол КО N ; б) угол MOR. 3. Запишите пары смежных углов, имеющиеся на рисунке: В А Е D C F 4 . Запишите пары вертикальных углов, имеющиеся на рисунке: В D М А С N](https://fhd.videouroki.net/7/d/8/7d87e7bd5293a62c28191b0bc21f9431b6d2e720/img35.jpg)
Обучающая самостоятельная работа
1 . На рисунке изображены прямые АС и В D , пересекающиеся в точке О. Дополните записи:
С
В
ВОС и . . . - вертикальные,
ВОС и . . . - смежные,
СО D и . . . - вертикальные,
СО D и . . . - смежные.
o
D
А
2. Начертите угол МОК. Постройте смежный с ним: а) угол КО N ; б) угол MOR.
3. Запишите пары смежных углов, имеющиеся на рисунке:
В
А
Е
D
C
F
4 . Запишите пары вертикальных углов, имеющиеся на рисунке:
В
D
М
А
С
N