Урок по теме "Логарифм и его свойства. Логарифмические уравнения и неравенства."

Тема: «Логарифм и его свойства. Логарифмические уравнения и неравенства»

Цели урока:

1. Создать условия для обобщения и систематизации знаний учащихся по данной теме.
2. Содействовать закреплению основных методов решения логарифмических уравнений и неравенств, предупредить появление типичных ошибок, обобщить и закрепить понятие логарифма числа, повторить основные свойства логарифмической функции; расширить представления учащихся о логарифмической функции, применении ее свойств в нестандартных ситуациях;

3. Предоставить каждому учащемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень.
4. Активизировать работу класса через разнообразные формы работы.
5. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ребенка через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу в классе.

6. Воспитывать уверенность, прививать интереса к предмету.

Оборудование урока.

1. Кодоскоп.
2. Задания на пленке для кодоскопа.
3. Индивидуальные карточки с заданиями.
4. Плакаты: а) ответы для игры «Поле чудес»; б) задания «Проверь себя»; в) высказывания о логарифмах великих ученых

Ход урока

Подготовка учащихся к работе на уроке. Сообщаются цели урока. Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории (1 балл за прав. ответ)

1) Дать определение логарифма числа; основные свойства логарифмов.

2) Функцию какого вида называют логарифмической?

3) В какой точке график функции пересекает ось абсцисс? Почему?

4) При каких условиях функция возрастает? Убывает?

Работа по карточкам (один у доски, три на месте) (4 балла)

На доске: Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =

б) log_1/336 – log_1/312 =

Решить уравнение: log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27

На месте: К а р т о ч к а

Вычислить: а) log₂11 – log₂44 =

б) log_1/64 + log_1/69 =

Решить уравнение: log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3 log₇125.

2. Фронтальный опрос класса (устные упражнения записаны на доске): (1 балл за прав. ответ)

1. Вычислить:

1. log₂8

2. lg0,01

3. log_1/39

4. log₇ (¹/₄₉)

5. log₁6

6. log_пп

7. log₃(3 log₂8)

8. log₆(3 log₂4)

9. lg(5lg100)²

10. log₃log₃log₃27

2. Решить примеры:

а) Сравнить числа: log₃4 и log₃6;

log_1/47 и log_1/49;

log₂3 и log_1/21/5.

б) Установить знак выражения log_0,83 · log₆2/3.

Заслушивается ответ ученика, работающего у доски. Вопрос. Что использовалось при решении уравнений?
[Определение логарифма, свойства логарифма.]

Задание 1. устный счет. (Работает весь класс.) (1 балл за прав. ответ)

1) Прочитайте (с готовой кодограммы) определение логарифма и вычислите следующие логарифмы:

3. Приложение логарифмов

Вопрос: Как вы думаете, в каких областях применяются логарифмы?

Логарифмы в музыке.

Музыканты редко увлекаются математикой. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими “странными” вещами, как логарифмы.

Известный физик Эйхенвальд вспоминал: “Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах”.

И действительно, так называемые ступени хроматической гаммы (12- звуковой) частоты звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Основание этих логарифмов равно 2

4. Самостоятельная работа (тест) с самопроверкой (ответы записаны на развороте доски и открываются для проверки самими учащимися через 5 минут). (5 баллов)

1.Вычислить: log ₂16 - log ₂64

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4

2.Определить х, если log ₄ х = -3

а) 1 б) 3/4  в) –4/3  г) 1/64

3.Вычислить: 2 log ₅25 + 3 log ₂64

а) 72 б) 2² + 3⁶ в) 22 г) 19

4.Найти область определения функции у = log ₂ (3х – 2)

а) (-∞;∞) б) (0; ∞) в) (-∞; 2/3) г) (2/3; ∞)

5. Сравнить числа и выбрать из них наибольшее:

А) 1 б) log _1/38 в) log ₃5 г) log _1/39.

5. Работа с плакатом «Проверь себя» (устно) (5 баллов,если нашли и исправили 5 ошибок)

1)
2) log₅ (121 – x²),   (121 – x²)  0, x  – 11, x  11.
3)
4)
5) lg x² = 2lg x.

Это задание позволит проверить внимание учащихся, их знания

6. Самостоятельная работа (под копирку) (4 балла)

1 вариант

1. Вычислите

2. Решите уравнения: а) log₃ (2x + 8) = log₃ (x – 2);    б) log₄ (2x + 4) = 2.

3. При каких значениях x существует данный логарифм?

2 вариант

1. Вычислите

2. Решите уравнения:  а)   б) 5^3x+2 = 7.

3. При каких значениях x существует данный логарифм?

7. Игра «Поле чудес». На доске записаны на отдельных карточках следующие числа:

1 2 3 4 5 … до 89, а на плакате – буквы и ответы к упражнениям в индивидуальных карточках.

(Фраза: Ты нам, математика, даешь для победы трудностей закалку. Учится с тобою молодежь развивать и волю, и смекалку.)

Ученики получают 2 или 3 индивидуальные карточки с заданиями (в каждой карточке одно задание). Выполнив задание, они ищут в таблице букву, которой соответствует ответ. Если такая буква есть, то называют номер карточки, и под этим номером на доске пишется буква. Если ответ неправильный – ученику предлагается переделать задание.

8. Новый метод (переход к новой функции)

Решение некоторых достаточно сложных (хотя и стандартных) неравенств существенно упрощается, если использовать следующее очевидное утверждение.
Утверждение. Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции f(x) соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции g(x), то неравенства

p(x) f(x)  0     (1)
и                                          
p(x) g(x)  0    (2)

равносильны.

По существу, это утверждение означает то, что если одна из функций f(x) или g(x) имеет более простой вид, то при решении неравенств вида (1) или (2) ее можно «заменить» на другую.

Пример 1. Решим неравенство log_{2x – 5}(5x – 2) 1. (объяснение учителем)

Решение.

Ответ: (3; ).

Пример 2. (решить у доски)

Решите неравенство

Решение. Традиционный способ решения подобных неравенств состоит в рассмотрении двух случаев. Мы вновь воспользуемся утверждением, предварительно представив числитель и знаменатель дроби в виде разности логарифмов. Итак, неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Пример 3. Решите неравенство (самостоятельно)

Ответ: (– 7; 6)  [2; 2,5)  (4; 4,5].  

Пример 4. (дополнительный, если останется время)

Решите неравенство log_2–x(x + 2)log_x+3(3 – x)0.

9. Подведение итогов урока (выставление отметок согласно рейтинговой таблице), д/з (раздать каждому ученику кросснамберы по теме «Логарифмы»),

рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком)