Урок математики "Свойства тригонометрических функций"

Цели урока: Изучив данную тему, вы будете знать знаки тригонометрических функций в каждой координатной четверти, периодичность, четность и нечетность тригонометрических функций

Тип урока: Изучение нового материала.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Этап проверки домашнего задания.

Задачи: Установить правильность, полноту и осознанность выполнения д/з всеми учащимися, выявить пробелы в знаниях и способах деятельности учащихся. Определить причины возникновения затруднений, устранить обнаруженные пробелы. Содержание этапа:№274, 275, 276, 278.

3. Этап актуализации.

Задачи: обеспечение мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению целей урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся. Содержание этапа:№279, 280, 284

4. Формирование новых понятий и способов действия.

Из определения тригонометрических функций следует, что знаки (“+” и “ - ”) каждой функции зависят от знаков коор­динат конца подвижного радиуса, т. е. от того, в какой координатной четверти лежит его конец.

На рис. 48 указана нумерация коорди­натных четвертей.

Предположим, что при повороте началь­ного радиуса ОА в положительном направ­лении получен подвижный радиус ОВ и он. сделал полный оборот. Здесь мы видим, как изменяются координаты точки В, являю­щейся концом подвижного радиуса.  Нетрудно заметить, что когда точка В находится в верхней полуокружности, координата у положительна, а при переходе точки В на нижнюю полуокружность координата у отрицательна. Так как знак синуса угла по определению зависит от знака у, поэтому в I и II четвертях sina >0, а в Ш и IV четвертях sina <0 (рис. 49). Из опре­деления знак косинуса угла зависит от знака координаты х. Поэтому, когда точка В находится в правой полуокружности, абсцисса х имеет положительный знак, а когда точка В находится в левой полу­окружности, абсцисса х имеет отрица­тельный знак. Следовательно, в I и IV четвертях cosa >0, а в III и II четвертях cosa <0 (рис. 50).

Поскольку tg а = y/x, ctg а= x/y, то знаки этих функций будут положительны в тех коорди­натных четвертях, когда координаты точки В имеют одинаковые знаки, и отрицательны в тех четвертях, когда координаты точки В имеют противоположные знаки. Следовательно, в I и III четвертях tg а > О, ctg а > 0, а во II и IV четвертях tg а < 0, ctg а < 0 (рис. 51).

Результаты исследования знаков тригоно­метрических функций можно указать также в виде таблицы.

Известно, что если подвижный радиус и дальше продолжает свое круговое движение, то его конец снова займет одно из предыдущих положений. Другими словами, тригонометрические функции снова принимают те же значения, которые имели от 0 до 2л. И эти их значения не изменяются при повторении полных оборотов несколько раз.

Функции, обладающие таким свойством, называются периоди­ческими функциями.

Если к аргументу тригонометрических функций прибавить полный оборот (2л) целое число раз, то их значения не изменятся. При повороте радиуса ОА на угол а и на угол а + 360 , и на угол а + 2 • 360° и т. д. получится один и тот же радиус ОВ, т. е. для углов а, а + 360 °, а + 2 • 360° и т. д. тригонометрические функции имеют одни и те же значения.

Следовательно, функции у = sin а, у = cos а, у = tg а, у = ctg а являются периодическими функциями.

Исследованные свойства тригонометрических функций позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360°.

Рассмотрим примеры. Найдем sin 1470°, cos 1845°.

sin 1470° = sin (4 • 360°+ 30°) = sin 30° = 0, 5

cos 1845° = cos (5 • 360° + 45°) = cos 45° = 22          .

До сих пор тригонометрические функ­ции мы рассматривали в основном для случаев а> 0. Теперь перейдем к рассмот­рению формулы, которая выражает тригонометрические функции отрица­тельного аргумента через значения триго­нометрических функций с положитель­ным аргументом. Для этого, как и прежде в прямоугольной координатной системе, возьмем окружность с центром в начале координат и с радиусом О А (рис. 52).

Предположим, что при повороте ра­диуса О А на угол а он переходит в радиус ОВ, а при повороте радиуса ОА на угол - а он займет положение ОВ₁ Если соединить точки В и B₁ то получим равнобедренный треугольник ОВВ₁. ОР является бис­сектрисой угла ВОВ₁ этого треугольника. Поэтому точки В и В₁ будут симметричны относительно оси Ох.

Вам известно, что точки, симметрично расположенные относительно оси Ох, имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Поэтому, если координаты точки В обозначим через х и у, то координатами точки В₁, будут х и - у.

Весь материал - смотрите документ.