Урок математики "Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии"

 Цели. Обучающие:

познакомить учащихся с формулами суммы n первых членов геометрической прогрессии;

научить находить по формулам сумму n первых членов геометрической прогрессии с положительным, отрицательным и дробным показателем;

используя формулу суммы, вывести формулу сокращенного умножения;

закрепить навыки решения опорных задач с применением формулы n - го члена ( зная b₁ и q найти b_n, зная b₂ и b₁ найти b_n, зная b_n, q, b₁ найти n).

Развивающие:

развивать познавательную активность;

развивать логическое мышление: способность к анализу, сравнению и синтезу;

развивать навыки самостоятельной работы;

развивать умение построения логических цепочек, индуктивных ходов (от формул x⁵ - 1 и x⁶ - 1 к xⁿ - 1);

развивать научность мышления;

Воспитательные :

воспитывать интерес к математике, как науке;

самостоятельность мышления;

воспитание культуры общения со сверстниками и учителями;

воспитывать умение аргументировано отстаивать свою точку зрения;

укреплять: творческие связи между учениками и учителем; желание и стремление к сотрудничеству.

Ход урока.

1. Оргмомент.

2. Актуализация знаний.

  а). Какую тему мы с вами изучаем?

  б). Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

  в). Чему равно отношение двух соседних членов геометрической прогрессии?

  г). Способы задания геометрической прогрессии.

  д). Зависит ли величина члена геометрической прогрессии от номера места, которое он занимает в этой последовательности?

  е). Является ли последовательность геометрической прогрессией?

  5, 5, 5, . . . ,

  3, - 3, 3, - 3, . . . ,

  2, 10, 50, . . . ,

  4, 14, 24, 34, . . . ,

 ж). Свойства геометрической прогрессии.

 и). Придумайте такую геометрическую прогрессию, чтобы ни в одном из ее членов не встречалась цифра 1.

 к). “Фокус”. На доске записано 10 чисел:

  1/20; 1/10; 1/5; 2/5; 4/5; 8/5; 16/5; 32/5; 64/5; 128/5.

  Ученик стоит спиной к доске. Учащиеся называют номер числа, а учащийся у доски мгновенно называет само число. Класс должен объяснить, как он это делает.

 л). Исследовательское задание.

Одно из следующих утверждений о геометрической прогрессии неверно, а остальные верные:

b₁ = 2;

|q| = 3;

прогрессия знакочередующаяся;

b₄ < 0;

b_n+1 = 3b_n.

Найти неверное утверждение и записать формулу n - го члена.

3. Изучение нового материала.

Подготовка к восприятию нового материала.

 “Финансовая задача”.

Однажды незнакомец постучался в окно к богатому купцу и предложил сделку: “Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100000 рублей, а ты мне в первый день за 100000 рублей дашь 1 копейку, во второй день 2 копейки, и так каждый день будешь увеличивать число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то завтра начнем”. Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3000000 рублей. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку. Нам с вами нужно выяснить, кто в сделке проиграл: купец или незнакомец?

Учащиеся составляют последовательность чисел:

1; 2; 4; 8; 16; 32;. . . ; 2²⁹.

Обсуждение задачи.

1. Какую последовательность образуют эти числа?

2. Для того чтобы определить , какую сумму нужно купцу выплатить за 30 дней, что нужно сделать?

Сегодня на уроке мы с вами должны вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

2. Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.

4. Закрепление изученного материала.

• Сколько существует формул для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии?
• Что нужно знать, чтобы найти сумму по первой формуле, по второй?
• Если q=1, то как найти сумму n первых членов геометрической прогрессии.

А теперь давайте вернёмся к началу урока. Перед нами стояла проблема: кто в этой сделке выиграл, а кто проиграл?

1, 2, 4, 8, 16. . . 2²⁹

a₁=1, q=2 a₃₀=2²⁹

S₃₀=1(230 - 1)/(2 - 1)=(2¹⁰)³ - 1=10737418 руб. 24 коп.

Оказалось, что уплачено было незнакомцу без малого 11 млн. , а ведь начиналось всё с одной копейки.

Пример1.

(b_n) - геометрическая прогрессия, b₁=1, q=4. Найти S_4.

Пример2.

(b_n) - геометрическая прогрессия, b₁=1/2, b₂=1/4 Найти S_5.

Решение задач из учебника.

№409(г), 412(а), 414(а)

Пример 3.

Упростите выражение, применив формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

вариант 1.  вариант2.

1 + x + x² + x³ + x⁴   1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵

q = x n = 5   q = x  n = 6

S₅ = (1(x⁵ - 1)/(x - 1)   S₆ = (x⁶ - 1)/(x - 1)

1 + x + x² + x³ + x⁴ = (x⁵ - 1)/(x - 1) 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ = (x⁶ - 1 )/(x - 1)

Найти чему равно

 (x⁵ - 1) = (x - 1)( 1 + x + x² + x³ + x⁴) (x⁶ - 1 ) = (x - 1)( 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵)

Вопрос. Как разложить на множители ?

xⁿ - 1 = (x - 1 )( x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} +. . . + x² + x + 1)

При n = 2 и n = 3 приходим к известным формулам разности квадратов и разности кубов.

5. Самостоятельная работа по вариантам.

Задания состоят из обязательной и дополнительной части. К обязательной части даны ответы. Решив первый пример, сверяете свой ответ с ответами, записанными в карточке в произвольном порядке. Если ваш ответ не совпадает ни с одним написанным, то возвращайтесь к решению, находите ошибку и только после этого переходите к следующему примеру.

Вариант 1.

Обязательная часть.

Дана геометрическая прогрессия

1) b₁ = - 4  q = 2 Найти S₅

2) b₁ = 4 b₂ = 16  Найти S₆

3) q = 2 S₈ = 765  Найти b₁ .

Ответы: 3, 5460, - 124.

Дополнительная часть.

4) Упростите выражение, применив формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

1 + x + x² + x³ + x⁴ =

x ¹ 1

5) Сумма трех чисел , составляющих геометрическую прогрессию, равна 3, а сумма их квадратов равна 21. Найти эти числа.

Вариант 2.

Обязательная часть.

Дана геометрическая прогрессия

1) b₁ = - 9 q = 2 Найти S₆

2) b₁ = 3 b₂ = 9  Найти S₅

3) q = 2 S₅ =93  Найти b₁ .

Ответы: 363, - 567, 3.

Дополнительная часть.

4) Упростите выражение, применив формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ =

x ¹ 1

5) Сумма трех чисел , составляющих геометрическую прогрессию, равна 7, а сумма их квадратов равна 91. Найти эти числа.

6. Подведение итога урока.

1. Что узнали нового на этом уроке?

2. Что нужно знать, чтобы найти сумму по первой и второй формуле?

3. В чем состоит практическое применение геометрической прогрессии? (финансовая задача, решение учебных задач, получение формул сокращенного умножения)

7. Домашнее задание.