Уравнение касательной (методический материал)

Ключевые слова: касательная, прямая, производная, функция, угловой коэффициент.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке Δf=f(x0+Δx)−f(x0) к приращению аргумента Δx при Δx→0: f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx

Геометрический смысл производной.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х₀.

Для наглядности используем график из предыдущего урока («Определение производной. Геометрический смысл производной») и выведем уравнение касательной МТ.

Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х₀.

Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой.

Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f '(х₀) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х₀.

Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.

Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f '(х₀)·x+b. Осталось определить значение b.

Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т.е. вместо х запишем х₀, а вместо у подставим f (х₀). Получаем равенство:

f (х₀) =f '(х₀)·х₀+b.

Отсюда b=f (х₀) - f '(х₀)·х₀. Подставляем это значение b в равенство: y=f '(х₀)·x+b. Тогда:

y =f '(х₀)·х+f (х₀) - f '(х₀)·х₀. Упростим.

y=f (х₀)+(f '(х₀)·х - f '(х₀)·х₀) или 

y=f (х₀)+f '(х₀)(х - х₀). Это и есть искомое уравнение касательной МТ.

Весь материал - в документе.

Уравнение касательной

Ключевые слова: касательная, прямая, производная, функция, угловой коэффициент

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке Δf=f(x0+Δx)−f(x0)

к приращению аргумента Δx
при Δx→0: f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx

.

Геометрический смысл производной

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х₀.  Для наглядности используем график из предыдущего урока («Определение производной. Геометрический смысл производной») и выведем уравнение касательной МТ.

Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х₀.

Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f '(х₀) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х₀. Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.

Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f '(х₀)·x+b. Осталось определить значение b. Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т.е. вместо х запишем х₀, а вместо у подставим f (х₀). Получаем равенство:

f (х₀) =f '(х₀)·х₀+b.

Отсюда b=f (х₀) - f '(х₀)·х₀. Подставляем это значение b в равенство:  y=f '(х₀)·x+b. Тогда:

y =f '(х₀)·х+f (х₀) - f '(х₀)·х₀. Упростим.

y=f (х₀)+(f '(х₀)·х - f '(х₀)·х₀)  или 

 y=f (х₀)+f '(х₀)(х - х₀).  Это и есть искомое уравнение касательной МТ.