Тригонометрия - это просто!

Знание психологических особенностей обучения детей, может помочь педагогу добиться хороших результатов. Одной из важнейших задач своей работы я считаю «учить детей учиться», развивая их собственные познавательные процессы, такие как внимание, восприятие, мышление, память. Так как, чем выше уровень развития познавательных процессов, тем большими возможностями обладает ученик, а, значит, тем успешнее он в жизни.

Тема «Тригонометрия» одна из самых сложных в курсе школьной математики, так же она имеет большое практическое применение в курсе физики. Работа не  является полной разработкой  изучения  темы  “Тригонометрия”, это методические рекомендации для учителей математики, которые  направлены на:

развитие познавательных процессов учащихся;

создание образов для изучаемых понятий, формул и т. д.;

развитие умения обобщать и структурировать материал; 

создание ориентировочной основы по теме “Тригонометрия”.

Итогом изучения темы будет являться созданная ориентировочная основа, знания учащихся, желание творить у учащихся и учителей.

В своей работе при изучении каждой темы я с учениками строю ориентировочную основу. Ориентировочная основа действия - это система опорных пунктов, на которую  реально опирается человек  при  выполнении действия. По сути ориентировочная основа это план материала, представленный из совокупности  опорных пунктов. В качестве опор могут выступать слова, рисунки, схемы, таблицы и т.д. Словесные, символьные опоры и рисунки  становятся действенным средством запоминания, а учеба для детей интересной, привлекательной и более эффективной. Чтобы построить ориентировочную основу необходимо, чтобы его глаза, руки и уши стали инструментами, готовыми к действию, а его суждения основывались на понимании условий, в которых ему придётся работать.

Создание образов и опор опирается на познавательные процессы учащихся. Развивая познавательные процессы (восприятие, наблюдение, мышление и т.д.) - мы создаем опоры.

Презентация «Веселая тригонометрия»

Восприятие

Основу восприятия составляют ощущения, т. е. работа органов чувств и соответствующие ей  субъективные образы. Восприятие любого нового понятия является по существу  решением  определённой  задачи. Решим одну из  таких  задач.

В курсе 8 класса вводятся понятия “синус угла”, “косинус угла”. Я с учениками рассматривала  сначала  понятие  “cинус”. Почему? Именно на восприятии этого понятия хорошо работают  “зрение” и “слух”. Мои учащиеся изучают английский   язык, и одно из слов “смотреть” - see - в русской транскрипции “си”. Значит, уже у учеников появиться  звуковая  ассоциация.

Восприятие идёт через слух – созвучие с самим словом “синус”, а так же зрительно: рисуем глаз и “смотрим” - показывая стрелкой направление взгляда.

«Косинус угла»: т.к. в отношении необходимо брать прилежащий к гипотенузе катет, то изобразим прилёгшего - прилежащего человека”.

Введение понятия «единичная окружность» - «стадион». Окружность с центром в точке (0;0) – центр стадиона. Определяем начало - “старт”. Определим направление “бега” - против часовой стрелки, как на всех спортивных стадионах, аренах цирка.

Определяем сектора - “трибуны зрителей ”(так же против часовой стрелки). Таким образом получили единичную окружность готовую для работы.        

«Ось синусов, ось косинусов». Как же красиво подписать это на единичной окружности, чтобы всегда можно  было “прочитать” ось? Из всех предложенных учениками вариантов выбираем  самые оптимальные, не перегруженные лишними знаками:               

Наблюдение

При рассмотрении всех     свойств необходимо уметь “читать по графику”. Но сначала будем читать сами графики. Оказывается, что имя графика можно прочитать через точку (0;0)

Аналогично рассматриваем график функции у = cos х и подписываем на координатной плоскости имя графика (так же читая имя через точку (0,0)).

Внимание

Выделяют непроизвольное, произвольное, послепроизвольное внимание. Непроизвольное внимание устанавливается и поддерживается без сознательно поставленной цели и без волевых усилий. Произвольное внимание поддерживается и регулируется под влиянием сознательно поставленной цели и волевых усилий. Для формирование послепроизвольного внимание необходимы следующие условия:

относительная новизна;

неожиданность появления;

контраст;

наличие положительных или отрицательных эмоций.

При рассмотрении свойства “чётности - нечётности” тригонометрических функций тема урока была: “Чебурашка”. Из всех основных тригонометрических функций, только
у = cosх  является чётной функцией. Здесь уже ученики составили опору Чебурашка. Во-первых звуковую - “че–че”, во-вторых   зрительную:  cos ( - x ) = cos x. При этом добавили “голодный”, т.к. “съедает” знак “минус”.

При работе учащиеся уже непроизвольно произносили “косинус - съедаеть минус”, “голодный Чебурашка”; “сытый” или “выбрасывает минус” для остальных тригонометрических функций, как говорили сами ученики: “мы кормили” функции. Создав неожиданный образ для единственной чётной основной тригонометрической функции, учащиеся далее работали  легко, без лишнего напряжения.

Мышление

Внимание и мыслительная деятельность неразрывно связаны. Уже в процессе наблюдения зарождается и развивается мышление. Мышление представляет собой активную целенаправленную деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся информации, отчленение внешних, случайных, второстепенных её элементов от основных, отражающих сущность исследуемых ситуаций, раскрываются закономерные связи между ними. Главным признаком мыслительной деятельности является возможность получения новых знаний в самом процессе.

«В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления» (Ермаков В. П.), поэтому полезнее решить одно уравнение различными способами, чем решать много однообразных заданий. По своей  сути всякое мышление всегда является творческим и продуктивным.

У каждого человека более или менее развиты слуховая, зрительная, образная., моторная память, оперативная память. Я стараюсь подбирать опоры на «слух», «образ», «зрение». А теперь пример на развитие моторной и оперативной памяти. Одним из важных вопросов «Тригонометрии» является знание значений «хороших» углов: 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰. И если «Математику надо знать как свои пять пальцев», то используем эти пальцы. Ни карандаш, ни бумага не нужны, я только левая ладонь.

Каждому пальцу соответствует «хороший» угол.

Учащимся необходимо помнить только, что любая функция - это отношение.

В теме “ Тригонометрия”, много различных понятий, но прямого пути усвоения нет. Усвоение всегда опосредуется умственными образами. И образ, и понятие дают обобщенные знания о действительности, выражающейся словом. В  реальном  процессе мышления одновременно присутствует как “ образная ”, так  и “ понятийная ”логика; причём это не две самостоятельные логики, а единая логика протекания  мыслительного процесса. Различны  способы  создания  предметных образов по  чертежам, надписям, схемам. Одни учащиеся опираются на наглядность, ищут  в ней своеобразную опору, другие свободно действуют  в уме. Но в  любом случае понятие  и созданный образ, которыми оперирует мышление, составляют две стороны единого процесса. Каждый образ представляет собой целостную мыслительную картину  отдельного участка действительности. Чем сильнее будет  образ, чем  активнее  проделана над ним работа учащихся, тем осмыслённее будет  восприниматься само.

Весь материал - в документе.

Часть 1

Знание психологических особенностей обучения детей, может помочь педагогу добиться хороших результатов. Одной из важнейших задач своей работы я считаю «учить детей учиться», развивая их собственные познавательные процессы, такие как внимание, восприятие, мышление, память. Так как, чем выше уровень развития познавательных процессов, тем большими возможностями обладает ученик, а, значит, тем успешнее он в жизни.

Тема «Тригонометрия» одна из самых сложных в курсе школьной математики, так же она имеет большое практическое применение в курсе физики. Работа не является полной разработкой изучения темы “Тригонометрия”, это методические рекомендации для учителей математики, которые направлены на:

1. развитие познавательных процессов учащихся;

2. создание образов для изучаемых понятий, формул и т. д.;

3. развитие умения обобщать и структурировать материал;

4. создание ориентировочной основы по теме “Тригонометрия”.

Итогом изучения темы будет являться созданная ориентировочная основа, знания учащихся, желание творить у учащихся и учителей.

В своей работе при изучении каждой темы я с учениками строю ориентировочную основу. Ориентировочная основа действия - это система опорных пунктов, на которую реально опирается человек при выполнении действия. По сути ориентировочная основа это план материала, представленный из совокупности опорных пунктов. В качестве опор могут выступать слова, рисунки, схемы, таблицы и т.д. Словесные, символьные опоры и рисунки становятся действенным средством запоминания, а учеба для детей интересной, привлекательной и более эффективной. Чтобы построить ориентировочную основу необходимо, чтобы его глаза, руки и уши стали инструментами, готовыми к действию, а его суждения основывались на понимании условий, в которых ему придётся работать.

Создание образов и опор опирается на познавательные процессы учащихся. Развивая познавательные процессы (восприятие, наблюдение, мышление и т.д.) - мы создаем опоры.

Часть 2

Презентация «Веселая тригонометрия»

Основу восприятия составляют ощущения, т. е. работа органов чувств и соответствующие ей субъективные образы. Восприятие любого нового понятия является по существу решением определённой задачи. Решим одну из таких задач.

В курсе 8 класса вводятся понятия “синус угла”, “косинус угла”. Я с учениками рассматривала сначала понятие “cинус”. Почему? Именно на восприятии этого понятия хорошо работают “зрение” и “слух”. Мои учащиеся изучают английский язык, и одно из слов “смотреть” - see - в русской транскрипции “си”. Значит, уже у учеников появиться звуковая ассоциация.

Восприятие идёт через слух – созвучие с самим словом “синус”, а так же зрительно: рисуем глаз и “смотрим” - показывая стрелкой направление взгляда.

«Косинус угла»: т.к. в отношении необходимо брать прилежащий к гипотенузе катет, то изобразим прилёгшего - прилежащего человека”.

Введение понятия «единичная окружность» - «стадион». Окружность с центром в точке (0;0) – центр стадиона. Определяем начало - “старт”. Определим направление “бега” - против часовой стрелки, как на всех спортивных стадионах, аренах цирка.

Определяем сектора - “трибуны зрителей ”(так же против часовой стрелки). Таким образом получили единичную окружность готовую для работы.

«Ось синусов, ось косинусов». Как же красиво подписать это на единичной окружности, чтобы всегда можно было “прочитать” ось? Из всех предложенных учениками вариантов выбираем самые оптимальные, не перегруженные лишними знаками:

При рассмотрении всех свойств необходимо уметь “читать по графику”. Но сначала будем читать сами графики. Оказывается, что имя графика можно прочитать через точку (0;0)

Аналогично рассматриваем график функции у = cos х и подписываем на координатной плоскости имя графика (так же читая имя через точку (0,0)).

Выделяют непроизвольное, произвольное, послепроизвольное внимание. Непроизвольное внимание устанавливается и поддерживается без сознательно поставленной цели и без волевых усилий. Произвольное внимание поддерживается и регулируется под влиянием сознательно поставленной цели и волевых усилий. Для формирование послепроизвольного внимание необходимы следующие условия:

1. относительная новизна;

2. неожиданность появления;

3. контраст;

4. наличие положительных или отрицательных эмоций.

При рассмотрении свойства “чётности - нечётности” тригонометрических функций тема урока была: “Чебурашка”. Из всех основных тригонометрических функций, только
у = cosх является чётной функцией. Здесь уже ученики составили опору Чебурашка. Во-первых звуковую - “че–че”, во-вторых зрительную: cos ( - x ) = cos x. При этом добавили “голодный”, т.к. “съедает” знак “минус”.

При работе учащиеся уже непроизвольно произносили “косинус - съедаеть минус”, “голодный Чебурашка”; “сытый” или “выбрасывает минус” для остальных тригонометрических функций, как говорили сами ученики: “мы кормили” функции. Создав неожиданный образ для единственной чётной основной тригонометрической функции, учащиеся далее работали легко, без лишнего напряжения.

Внимание и мыслительная деятельность неразрывно связаны. Уже в процессе наблюдения зарождается и развивается мышление. Мышление представляет собой активную целенаправленную деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся информации, отчленение внешних, случайных, второстепенных её элементов от основных, отражающих сущность исследуемых ситуаций, раскрываются закономерные связи между ними. Главным признаком мыслительной деятельности является возможность получения новых знаний в самом процессе.

«В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления» (Ермаков В. П.), поэтому полезнее решить одно уравнение различными способами, чем решать много однообразных заданий. По своей сути всякое мышление всегда является творческим и продуктивным.

У каждого человека более или менее развиты слуховая, зрительная, образная., моторная память, оперативная память. Я стараюсь подбирать опоры на «слух», «образ», «зрение». А теперь пример на развитие моторной и оперативной памяти. Одним из важных вопросов «Тригонометрии» является знание значений «хороших» углов: 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰. И если «Математику надо знать как свои пять пальцев», то используем эти пальцы. Ни карандаш, ни бумага не нужны, я только левая ладонь.

Каждому пальцу соответствует «хороший» угол.

Учащимся необходимо помнить только, что любая функция - это отношение.

«До» - количество пальцев снизу, «после» - сверху.

Для вычисления синуса «хорошего» угла используем формулу:

Для вычисления косинуса и тангенса используем формулы:

В теме “ Тригонометрия”, много различных понятий, но прямого пути усвоения нет. Усвоение всегда опосредуется умственными образами. И образ, и понятие дают обобщенные знания о действительности, выражающейся словом. В реальном процессе мышления одновременно присутствует как “ образная ”, так и “ понятийная ”логика; причём это не две самостоятельные логики, а единая логика протекания мыслительного процесса. Различны способы создания предметных образов по чертежам, надписям, схемам. Одни учащиеся опираются на наглядность, ищут в ней своеобразную опору, другие свободно действуют в уме. Но в любом случае понятие и созданный образ, которыми оперирует мышление, составляют две стороны единого процесса. Каждый образ представляет собой целостную мыслительную картину отдельного участка действительности. Чем сильнее будет образ, чем активнее проделана над ним работа учащихся, тем осмыслённее будет восприниматься само.

1. Груденов Я. И. Психолого – дидактические основы методики обучения математике.- М., 1987.

2. Славская А. В. Наглядный образ в структуре познания. – М., 971.

3. Фридман Л. М. Наглядность и моделирование в обучении. – М., 1984.

4. Шаталов В. Ф. Точка опоры. – М., 1989.