Разработка урока по математике "Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла"

Цели урока:

Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.

Познакомится с закономерностью изменений значений синуса косинуса и тангенса при возрастании угла.

Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.

Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

Проверить знания учащихся.

План урока.

1. Повторение ранее изученного материала.

2. Задачи на повторение.

3. Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.

4. Практическое применение.

Ход урока.

Повторение ранее изученного материала.

Начнем с самого начала и вспомним то что будет полезно освежить в памяти. Что же такое синус, косинус и тангенс и к какому разделу геометрии относятся эти понятия.

Тригонометрия - это такое сложное греческое слово: тригонон - треугольник, метро - мерять. Стало быть по-гречески это означает: мерятся треугольниками.

Тригонометрические функции — вид элементарных функций, изучаемых в тригонометрии. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна. В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Основное применение тригонометрические функции получили в треугольниках, так как треугольник является простейшим многоугольником.

Со всех геометрических фигур можно получить треугольник проведя не сложные построения этот процесс называется триангуляция. Вкратце говоря для того что бы решить сложную задачу ее легче разбить на несколько легких.

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Если все три точки треугольника лежат на одной прямой, он называется вырожденным.

Треугольники можно классифицировать по виду углов и по числу равных сторон.

Типы треугольников:

По виду углов:

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон:

Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Также если мы уже заговорили про треугольники нужно вспомнить египетский треугольник.

Египетский треугольник – прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины. Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности.

Задачи на повторение.

Задача №1

Высота треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 10000 квадратных единиц?

Ответ: Может. Таким будет, например, равнобедренный треугольник, основание которого равно 80000, а высота к основанию равна 0.5.

Задача №2

На рисунке изображено 2 треугольника. Верхний треугольник состоит 4-х фигур. Нижний треугольник (такой же площади) состоит из тех же фигур такой же площади. Вопрос — откуда взялся свободный квадратик?

Ответ: Если присмотреться то будет видно что гипотенуза обеих треугольников немного (почти незаметно) деформирована. В первом она вогнута к основанию, а во втором наоборот. За счет этого и появляется свободный квадрат.

Весь материал - в документе.

Тема урока

Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.

• Познакомится с закономерностью изменений значений синуса косинуса и тангенса при возрастании угла.

• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.

• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить знания учащихся.

План урока

1. Повторение ранее изученного материала.

2. Задачи на повторение.

3. Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.

4. Практическое применение.

Повторение ранее изученного материала

Начнем с самого начала и вспомним то что будет полезно освежить в памяти. Что же такое синус, косинус и тангенс и к какому разделу геометрии относятся эти понятия.

Тригонометрия - это такое сложное греческое слово: тригонон - треугольник, метро - мерять. Стало быть по-гречески это означает: мерятся треугольниками.

Тригонометрические функции — вид элементарных функций, изучаемых в тригонометрии. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна. В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Основное применение тригонометрические функции получили в треугольниках, так как треугольник является простейшим многоугольником. Со всех геометрических фигур можно получить треугольник проведя не сложные построения этот процесс называется триангуляция. Вкратце говоря для того что бы решить сложную задачу ее легче разбить на несколько легких.

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Если все три точки треугольника лежат на одной прямой, он называется вырожденным.

Треугольники можно классифицировать по виду углов и по числу равных сторон.

Типы треугольников:

По виду углов:

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон:

• Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.

• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.

• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Также если мы уже заговорили про треугольники нужно вспомнить египетский треугольник.

Египетский треугольник – прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины. Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности.

Задачи на повторение

Задача №1

Высота треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 10000 квадратных единиц?

Ответ: Может. Таким будет, например, равнобедренный треугольник, основание которого равно 80000, а высота к основанию равна 0.5.

Задача №2

На рисунке изображено 2 треугольника. Верхний треугольник состоит 4-х фигур. Нижний треугольник (такой же площади) состоит из тех же фигур такой же площади. Вопрос — откуда взялся свободный квадратик?

Ответ: Если присмотреться то будет видно что гипотенуза обеих треугольников немного (почти незаметно) деформирована.  В первом она вогнута к основанию, а во втором наоборот. За счет этого и появляется свободный квадрат.

Задача №3

Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром.

На сколько километров увеличивает путь этот объезд?

Ответ:  6 км.