Тригонометрические многочлены

0

МБУ ДОД города Ростова-на-Дону «Дворец творчества детей и молодежи»

Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова

Математика/Общая математика

Тема: «Тригонометрические многочлены»

:

Кряквина Лилия Низамитдиновна,

учитель математики,

МБОУ «Школа № 31»,

г. Ростов-на-Дону

г. Ростов-на-Дону

2021 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ

Тема исследования работы: многочлены Чебышёва. Объект и предмет исследования: многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке. Рассматриваемая проблема: нахождение многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на различных отрезках различными методами. Гипотеза: наименьшее уклонение от нуля многочленов Чебышёва меняется в зависимости от длины отрезка, на котором они построены. Цели и задачи: изучение и анализ свойств приведённых многочленов n-й степени _{ }, уклонение которых от нуля наименьшее. Методы исследования: использование геометрического метода, использование свойств тригонометрических функций. Этапы исследования: изучение рекуррентных соотношений, доказательство некоторых формул методом математической индукции, построение многочленов на отрезке, изучение их свойств. Выводы: уклонение от нуля многочленов Чебышёва пропорционально степени длины отрезка, на котором рассматриваются данные многочлены; можно найти итерационный способ построения формул для тригонометрических функций кратных углов. Результаты: построение многочленов, мало уклоняющихся от нуля, на различных отрезках; найден итерационный способ построения формул для тригонометрических функций кратных углов. Новизна темы: проанализированы методы построения бесконечной системы многочленов Чебышёва и их свойства о наименьшем уклонения от нуля на разных интервалах, были найдены многочлены Чебышёва на определённых отрезках, построены графики системы многочленов и проведены наблюдения их свойств. Актуальность темы: многочлены Чебышёва встречаются во многих задачах математического анализа, вычислительной математики, алгебры, а также их применяют для расчёта антенной решётки (мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышёва).

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Многочлены, о которых будет идти речь, встречаются во многих задачах математического анализа, вычислительной математики, алгебры. _{ } Они появились в 1854 году в работе русского математика Пафнутия Львовича Чебышёва в связи с таким вопросом.

Рассмотрим всевозможные многочлены данной степени n со старшим коэффициентом 1; какой из них наименее уклоняется от нуля на отрезке _{ }, т.е. для какого многочлена _{ } величина _{ } на отрезке _{ } наименьшая?

Оказывается, это _{ } – многочлен из левой колонки таблицы 1 (см. приложение), делённый на старший коэффициент. Например, среди квадратных трёхчленов – это _{ } (его отклонение от нуля _{ } равно _{ } , а у любого другого квадратного трёхчлена _{ } оно больше); среди кубических многочленов это _{ }x (для него _{ }); а вообще отклонение от нуля _{   } многочлена _{ } меньше, чем у любого другого многочлена _{ } степени n._{ }

За определение многочленов Чебышёва удобно положить в основу простое рекуррентное соотношение между ними, которое описано в подписи к таблице 1 (см. приложение) и вывести из него формулы. _{ }

Рекуррентные соотношения и индукция.

Положим _{ } и _{ }. (1) Таким образом могут быть определены многочлены Чебышёва первого рода.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности. Вслед за _{ } идут _{ }  =x*(_{ } т.д. (для многочленов до _{ } можно проверить результаты по таблице 2 (см. приложение).

Многочлены Чебышёва второго рода _{ } могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения _{ } и _{ }. _{ }

На концах отрезка _{ } выполняются соотношения _{ }.

Все эти формулы легко доказываются методом математической индукции. _{ }

Рассмотрим другой пример: функцию _{ } и выразим её через _{ } и многочлен от _{ }:

_{ };

_{ }-1);

_{ }. Оказывается, _{ }2_{ } для всех n≥1. (2)

Полученные соотношения нетрудно получить с помощью метода математической индукции и формулы (1). Если предположить, что при k=n-1 и k=n _{ }=_{ }, то из (1) следует  - _{ }. Было использовано тождество 2_{ }.

Мы провели индуктивный переход не от n к n+1, как обычно, а от n-1и n к n+1; при этом необходимо проверить первые два равенства при n=0 и n=1.

Задача № 1

Используя соотношения (2), вывести формулу sin5φ=f(sin φ).

Решение.

sin5φ=sinφ* 

Итак, не применяя формулу Муавра (см. приложение), мы получили итерационный способ для построения формул тригонометрических функций кратных углов.

Задача № 2

Докажите, что а) _{ }

Доказательство.

Для доказательства используем рекуррентные соотношения (1) и метод математической индукции.

а) Рассмотрим формулу _{ }Если n=1, то _{ } Это верно. Допустим, что формула верна при n=k, докажем её справедливость при n=k+1. _{ }=2(k+1) - k=2k+2-k=k+2. Итак, _{ } Итак, утверждение верно при всех натуральных n/

б) Рассмотрим _{ } Проверим её справедливость при n=1: _{ } (-1)(1+1)=-2, т. е. равенство верно. Допустим, что формула верна при n=k, докажем её справедливость при n=k+1. _{ }= (k+2). Итак, _{ }(k+2). Видим справедливость равенства при всех натуральных n.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Задача № 3

Зафиксируем некоторый отрезок числовой оси, например, отрезок _{ }. Пусть f(x)=_{ } – приведённый многочлен n-й степени (это значит, что его старший коэффициент равен 1). Множество значений f(x) на отрезке _{ } – отрезок _{ }, где m – минимум, а M – максимум многочлена. Уклонением многочлена от нуля называется наибольшее из чисел _{   }Если уклонение многочлена от нуля равно c, то его график содержится в полосе _{ }≤ c и не содержится ни в какой более узкой полосе со средней линией OX. Задача состоит в том, чтобы найти такой приведённый многочлен n-й степени _{ }, уклонение которого от нуля было бы минимальным (условие, что старший коэффициент равен 1, не позволяет сжать график произвольно близко к оси абсцисс). Рассмотрим сначала случаи малых степеней. При n=1 речь идёт о линейной функции f(x) = x + a. Её множество значений – отрезок _{ } длиной 4. Поэтому наименьшее уклонение от нуля равно 2, а _{ } Если n = 2 (случай квадратного трёхчлена), то график многочлена второй степени – отрезок параболы. При этом f(x) = _{ } – 2, а уклонение от нуля снова оказывается равным 2.

Перейдём к общему случаю и предположим, что удалось обнаружить такой приведённый многочлен n-й степени _{ } что его график лежит в полосе _{ }≤ c и содержит n+1 точку её границы: самая правая лежит на прямой y=c, следующая – на прямой y= - c, следующая – снова на прямой y = c и т.д. (n=5, рис.2) _{ }

Теорема. _{ }

Уклонение от нуля любого приведённого многочлена n-й степени, отличного от _{ } больше c. (см. приложении)

Итак, нам нужно найти многочлен _{ } график которого ведёт себя так, как изображено на рис. 2. Этот рисунок напоминает нам о тригонометрических функциях. Рассмотрим следующую лемму:

Лемма

Функция 2cos nα выражается в виде приведённого многочлена n-й степени от функции 2cosα: 2cosnα = _{ }. Например, 2cos2α = 4_{ }- 2, т.е. _{ }, 2cos3α=8_{ }, т.е. _{ }.

Докажем лемму методом математической индукции. Пусть её утверждение доказано для чисел n-1и n:

2cos(n-1)α=_{ } Из формулы cos(n+1)_{ } следует, что 2 cos(n+1)_{ }=_{ }2_{   }

Значит, _{ } Лемма доказана, а заодно получена рекуррентная формула для вычисления многочленов _{ }. _{ }

Многочлены _{ } – это то, что нам нужно. Пусть α пробегает отрезок_{ }. Тогда n_{ } изменяется от 0 до _{ }, а функции x=_{ } и _{ } принимают значения _{ } при x=arccos_{ }, k=0, 1,…n. Значит, график многочлена _{ }лежит в полосе _{ }≤ 2 и содержит попеременно n+1 точку её верхней и нижней границы. Т.е. _{ } – многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке _{ } (уклонение равно 2). Эти многочлены называются многочленами Чебышева.

Вывод: каким бы ни был приведённый многочлен g(x), найдётся такая точка отрезка _{ }, в которой модуль его значения не меньше 2.

После того как задача на многочленах, наименее отклоняющихся от нуля, решена на отрезке _{ } её нетрудно решить и на любом другом отрезке. Для этого достаточно сделать в многочлене Чебышева линейную замену переменной.

Задача № 4

Найдите наименьшее уклонение от нуля приведённых многочленов на отрезках: а) _{ }; б) _{ }; в) _{ }

Решение

Мы решили задачу на отрезке _{ }. Введём линейную замену t=kx+b. Построим многочлены Чебышёва первого рода на нескольких отрезках. При нахождении биномиальных коэффициентов во время построения многочленов Чебышёва используем треугольник Паскаля (см. приложение).

а) x€ _{ }. Построим многочлены Чебышёва _{ } на отрезке _{ } Найдём k и b из условий -2k+b=0, 2k+b=4. Очевидно, что b=2, k=1. t=x+2, x=t-2.

_{ }; _{ }

 ;  .

б) x€ _{ }. Построим многочлены Чебышёва _{ } на отрезке _{ }

Найдём k и b из условий -2k+b=-1, 2k+b=1. Очевидно, что b=0, k=_{ }. t= _{ }x, x=2t. Построим многочлены Чебышёва:   _{ }32_{ }.

в) x€ _{ }. Построим многочлены Чебышёва _{ } на отрезке _{ }

Найдём k и b из условий -2k+b=-4, 2k+b=4. Видно, что b=0, k=_{ }. t=2x; x= _{ }t.

Построим многочлены Чебышёва:  ._{ }

Итак,  ;_{ }=_{ };_{ }

Построим график многочлена _{ } на отрезке _{ }рассмотрев функцию y =_{ }

Построим график многочлена Чебышёва пятой степени _{ } на отрезке _{ }

Построим график приведённого многочлена y= _{ } на отрезке _{ }:

Построим графики многочленов _{ }, рассмотрев функции

y=_{ }- _{ } и y=_{ }:

Построим графики многочленов _{ } на отрезке _{ }

Рассмотрим функции _{ } и y=_{ }:

Построив данные многочлены на различных интервалах, мы увидели, что их наименьшее уклонение от нуля пропорционально степени длины отрезка, на котором они рассматривались. В случае а) наименьшее уклонение не изменилось, так как был взят отрезок длины 4 (как в лемме с отрезком _{ }; в случае б) – уменьшилось в _{ }; в случае в) – увеличилось в _{ }

1. О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ

Рассмотрим теперь другой подход к задаче Чебышева – подход, основанный на изучении тригонометрических многочленов, так как полезнее решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач одним.

Определение. Тригонометрическим многочленом называется функция

f(α) = _{ } (3), где _{   }, _{ } – числовые коэффициенты. Число n называется степенью, а число _{ } – старшим коэффициентом тригонометрического многочлена. Тригонометрическую функцию (3) мы называем «многочленом» по причине, что f(α) – обычный алгебраический многочлен от функции _{ }. Ранее было доказано, что 2_{ } является многочленом n- й степени от 2_{ } со старшим коэффициентом 1. При доказательстве был использован метод математической индукции. Таким образом, можно утверждать, что при любом n _{ }, где _{ }многочлен n-1 степени со старшим коэффициентом _{ } .

_{ }=x=_{ }; _{ };

_{ }, (4)

………………………………………………………………

_{ }.

Умножая предыдущие равенства на коэффициенты _{   }, _{ } и складывая, мы увидим, что всякий тригонометрический многочлен (3) является алгебраическим многочленом n-й степени от _{ }. Прочитаем равенства (4) справа налево и снизу вверх. Из последнего равенства следует, что

_{ }cosnα+…, (5), где многоточие означает одночлены _{ } степени, меньшей n. Из предпоследнего равенства следует, что

_{ }cos(n-1)α+…, (6), где многоточие заменяет одночлены _{ } степени, меньшей n-1. И так далее. Подставляя (6) и аналогичные им равенства вместо многоточий в (5), мы получаем следующий результат: если cosx= _{ }, то _{ } является тригонометрическим многочленом n-й степени со старшим коэффициентом _{ }. _{ }

Отсюда следует, что всякий алгебраический многочлен n-й степени _{ } со старшим коэффициентом 1 при x=_{ } является тригонометрическим многочленом n-й степени со старшим коэффициентом _{ }.

Найдём среднее значение тригонометрического многочлена.

Рассмотрим тригонометрический многочлен f(α) со старшим коэффициентом _{ }. Разделим область определения _{ } на 2n равных частей точками 0, _{ } , , _{ }, _{ },…,_{ } рассмотрим его среднее значения в этих точках с чередующимися знаками _{ }-f(_{ } (7)

Лемма Среднее значение тригонометрического многочлена равно _{ }. _{ }

Доказательство.

Тригонометрический многочлен (3) состоит из слагаемых вида _{ }, где 0≤k≤n. Докажем, что сумма (7) для всех _{ } кроме последнего, равна нулю. Если k=0, то _{ }=1, так что _{ } Пусть теперь 0kn. Сумма (7) равна разности двух слагаемых: _{ }, (_{ })

_{ }. (_{ }

Каждая из этих сумм равна 0. Действительно, рассмотрим два правильных n-угольника (на рисунке n =6). Обойдём вершины n-угольника в таком порядке: _{ }, …Через несколько шагов наш путь замкнётся (на рис. а)на нём k=1 – доказывает, что k=2). В силу симметрии сумма векторов с началом в центре многоугольника и концами в отмеченных точках равна нулю. Поэтому нулю равна и сумма их проекций на ось абсцисс. Но это и есть сумма (_{ }). Аналогичное рассуждение с рисунком б) – доказывает, что равна нулю и сумма (_{ }Итак, остаётся вычислить сумму (7) при f(α)=_{ }. Но в этом случае _{ }. Поэтому сумма (7) равна _{ }*2n*_{ } = _{ }. Лемма доказана.

Решение задачи Чебышёва.

Напомним, что уклонением функции от нуля на некотором интервале называется наибольшее значение её модуля на этом интервале. Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее возможное уклонение от нуля на отрезке _{ } многочлена n-й степени со старшим коэффициентом 1.

Прежде всего оценим снизу уклонение от нуля тригонометрического многочлена (3). Это делается так:

_{ }  -f(_{ }│= │_{ }. (9)

Неравенство означает, что сумма модулей не меньше, чем модуль суммы; а равенство – это утверждение леммы из предыдущего пункта. Из неравенства (7) следует, что хотя бы для одного k выполнено неравенство _{ }≥│_{ }. Поэтому уклонение от нуля тригонометрического многочлена не меньше модуля его старшего коэффициента. Теперь задача Чебышёва решается очень просто. Приведённый многочлен n-й степени _{ } при подстановке x=cosα превращается в тригонометрический многочлен f(α) со старшим коэффициентом _{ }; причём, когда α пробегает отрезок _{ } , x пробегает отрезок_{ }. С другой стороны, уклонение от нуля f(α) не меньше его старшего коэффициента. Значит, уклонение от нуля приведённого многочлена n-й степени на отрезке _{ } не меньше, чем _{ }. Нетрудно видеть, что уклонение от нуля на отрезке _{ }, равное _{ }имеет приведённый многочлен _{   }, т.е. _{ }. _{ }

1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленный в работе материал интересен, актуален и полезен для практического применения, поскольку знакомит с некоторыми методами построения многочленов, мало отклоняющихся от нуля, на отрезке. При решении этой задачи Чебышёва использован геометрический подход и подход, основанный на изучении тригонометрических многочленов. В результате доказано несколько полезных формул, связанных с рекуррентными соотношениями, задающими многочлены Чебышёва; проанализированы методы построения бесконечной системы многочленов Чебышёва первого рода и их свойства о наименьшем уклонении от нуля на разных интервалах; построены их графики при, а также найден итерационный способ построения формул для тригонометрических функций кратных углов. При анализе использовались рекуррентные соотношения и метод математической индукции. Результаты этой исследовательской работы полезны, так как тема остаётся актуальной при решении некоторых задач математического анализа, комбинаторики, вычислительной математики, алгебры. Естественно, что любая удобная для практического использования формула или подход даёт хороший опыт работы с заданиями творческого характера и это интересно.

1. ЛИТЕРАТУРА

1. Н.Б. Васильев, А.В. Зелевинский. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»,1 выпуск-М.: МЦНМО, 1982. – 12-19 с.

2. Н.Б. Васильев. Многочлены Чебышёва. Приложения к Научно-популярному физико-математическому журналу «Квант»,2 выпуск-М.: МЦНМО, 2013. – 18-30 с.

3. С.В. Гашков. Задача Чебышёва и тригонометрические многочлен. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», 6 выпуск-М.: МЦНМО, 1990. – 25-27 с.

4. Д. Пойа, Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа. -М.: Наука, 1978, 84 с.

5. С.Л. Табачников Многочлены, наименее уклоняющееся от нуля. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», 6 выпуск-М.: МЦНМО, 1990. – 23-25 с.

6. А.М. Яглом, И.М. Яглом. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. Библиотека математического кружка, 5 выпуск. – М.: Гостехтеориздат,1954. – 130-134 с.

7. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2%D0%B0?fbclid=IwAR0qNVHR95prFMeJcwmKqaXkNuuTXOuwE15h-VQ0mA4ORdlzkU9Llx-1XhI

1. ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица 2

Треугольник Паскаля.