Теорема Пифагора
Родился около 580 г. до н. э.
на острове Самос
Цели
Выяснить:
- В чем заключается теорема Пифагора.
- Доказать теорему.
- Практическое применение.
Теорема Пифагора
- Первоначально теорема устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах». Алгебраическая формулировка: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a 2 +b 2 =c 2 . Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника. Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки
- положительных чисел a, b и c, такой, что a 2 + b 2 = c 2 , существует прямоугольный
- треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Доказательство
1.Через подобные треугольники
2. Доказательства методом площадей
2.1. Доказательство через равнодополняемость
Через подобные треугольники
Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры. Пусть АВС есть прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведём высоту из С и обозначим её основание через Н. Треугольник АСН подобен треугольнику АВС по двум углам. Аналогично, треугольник СВН подобен АВС. Введя обозначения
получаем
Что эквивалентно
или
Через
равнодополняемость
1.Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке. 2. Четырёхугольник является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°. 3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата.
Что и требовалось доказать.
применение
Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе.
В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.
строительство
Окно : в зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна ( b ) для наружных дуг и половине ширины ( b/2 ), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4 . А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
Крыша : в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF. Решение: Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м , BF=4 м Если предположить, что FD=1,5 м , тогда: А) Из треугольника DBC: DB=2,5м Б) Из треугольника ABF :
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4 . Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p , один катет равен b/4 , а другой b/2-p .
По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)=( b/4)+( b/4-p) или b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p , откуда b*p/2=b/4-b*p . Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)*p=b/4, p=b/6 .
Мобильная связь
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.) Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB = OA + AB OB = r + x Используя теорему Пифагора, получим ответ. Ответ: 2,3 км.
Получите свидетельство
Вход
Теорема Пифагора (0.14 MB)
0
1112
145
Нравится
0
