Коснпект урока по математике на тему "Теорема Пифагора"

Цели: 

1. Образовательная - познакомить учащихся с теоремой Пифагора и научить ее применять к решению задач.

2. Развивающая - развивать мыслительные способности учащихся посредством вовлечения их в обсуждение проблемы.

3. Воспитательная – прививать устойчивый интерес к изучению математики, воспитывать культуру общения, умение вести дискуссию.

 План урока:

I. Создание проблемной ситуации.

II. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства.

III. Решение задач.

IV. Итог урока.

  Оборудование:

  1. Персональный компьютер

  2. Мультивидеопроектор, экран

  3. Презентация для урока

  4. Чертежные инструменты

1. Орг. момент.
2. Начало урока: наш урок мы начнем с решения одной старинной задачи. (слайд №2)

Задача. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы появилась рыба?

Переведем задачу на математический язык. (слайд №3)

Учитель: Что означает, что птицы летели с одинаковой скоростью и догнали рыбу одновременно?

1 ученик: Это означает, что до рыбы они пролетели одинаковое расстояние, т. е. СЕ=ДЕ.

Учитель: Что требуется найти в задаче?

2 ученик: Найти АЕ.

Учитель: Какой способ для решения задачи вы предлагаете?

3 ученик: С помощью уравнения. За Х можно принять расстояние АЕ. Тогда ВЕ=50 - Х.

Учитель: Какие величины надо выразить через Х, чтобы мы могли составить уравнение?

4 ученик: Надо выразить СЕ и ДЕ.

Учитель: Можем ли мы это сделать?

1 ученик: Нет, мы не можем это сделать.

Учитель: Что мы можем сказать о треугольниках АСЕ и ВДЕ?

2 ученик: Они прямоугольные.

Учитель: Как называются стороны АС и АЕ в треугольнике АСЕ, ВД и ВЕ в треугольнике ВДЕ?

3 ученик: Они называются катетами.

Учитель: Как называются стороны СЕ и ДЕ?

4 ученик Они называются гипотенузами.

Учитель: Значит, нам надо знать зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. (слайд №4)

  Эту зависимость подметили еще в глубокой древности и доказали теорему, которую знают теперь почти все школьники. Эта теорема носит имя Пифагора. Послушайте историческую справку. (слады №№5 - 9)

Пифагор - это не имя а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину также постоянно, дельфийский аракул, («Пифагор» значит «убеждающий речью») жил в Древней Греции (родился он в 580 г. до н. э. , умер в 500 г. до н. э. ). О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связан ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал: был в Индии, Египте, Вавилоне; изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В пифагорейский союз, который имел свой кодекс чести, принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения своего основателя. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Авторство всех работ приписывалось Пифагору. Заповеди Пифагора и его учеников актуальны и сейчас и могут быть приемлемы для любого здравомыслящего человека. Вот они:

  - делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться;

  - не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать;

  - не пренебрегай здоровьем своего тела;

  - приучайся жить просто и без роскоши.

Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

Физкультминутка (слайд №10)

Представим себе, как могли решать нашу проблему ученики Пифагора на одном из заседаний своего союза. (инсценировка)

Попробуем найти зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике практическим путем.

Пифагор дает задание каждому из участников представления:

 - Ты построй треугольник с катетами 3 и 4. (1 ученик)

 - Ты – 6 и 8. (2 ученик)

 - Ты – 8 и 15. (3 ученик)

 - Ты – 12 и 5. (4 ученик)

Измерим длину гипотенузы в каждом треугольнике и данные занесем в таблицу:

Пифагор: Какую зависимость видит каждый из вас?

Смотрите документ.

Пифагор: Будет ли это верно для других случаев?

1, 2 ученики: Нет.

Пифагор: Значит, ни одна из формул не выражает зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике.

4 ученик: Я заметил, что 12²+5²=13², 144+25=169. Может, это будет верно и для других случаев?

Пифагор: Давайте проверим.

1, 2, 3 ученики: Действительно, это так.

II. Пифагор: Значит a²+b²=c². Попробуем доказать это.

Построим на сторонах прямоугольного треугольника квадраты со сторонами a, b, c. (слайд№11)

Что означает запись a²?, площадь квадрата со стороной a; b² ?, площадь квадрата со стороной b; c^{2 -} ?, площадь квадрата со стороной с.

Пифагор: Попробуйте сформулировать теорему. (слайд №12)

1 ученик: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. (слайд №13)

Учитель: Так звучала теорема во времена Пифагора.

2 ученик: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов.

Учитель: А так звучит современная формулировка. (слайд №14)

Пифагор: Друзья, обдумайте возможные доказательства этой теоремы. Того, кто придумает лучший способ, ждет награда.

Учитель: К настоящему времени известно более 200 способов доказательства этой теоремы. Посмотрим, какие из них предложили ученики Пифагора.

1 ученик: Квадраты, построенные на катетах, состоят из двух одинаковых треугольников. А квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из четырех таких треугольников. Значит, теорема верна, все очень просто. (слайд №15)

 2 ученик: Просто и красиво, молодец друг.

3 ученик: Просто и красиво, но ведь ты взял не обычный прямоугольный треугольник.

1 ученик: Что же в нем необычного?

3 ученик: Ты привел доказательство для равнобедренного прямоугольного треугольника. А будет ли оно верно, если a≠b?

1 ученик: Да, пожалуй ты прав. Я подумаю еще.

2ученик: А я кажется, придумал. Если закрасить 4 треугольника на первом рисунке, то останется квадрат площадью c², а если такие же 4 треугольника закрасить на втором рисунке, то останутся квадраты площадью a² и b². Вот и получается, что c²=a²+b². (слайд №16)

3 ученик: Верно, верно. Я использовал этот же прием, но по - другому. Поставил рядом квадраты площадью a² и b². Теперь отрежем от них два одинаковых треугольника с катетами a и b и гипотенузой с, и переложим так, как показано на рисунке. Получим квадрат площадью с^2. Значит, опять получается, что a²+b²=c². (слайд №17 - 18)

Пифагор: Вам обоим удалось решить эту проблему. Притом вы предложили действительно простое и красивое доказательство. В этом и состоит самый лучший математический стиль – посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

 Учитель: Ребята, вы тоже можете подумать дома и предложить свои способы доказательства теоремы Пифагора.

4 ученик: А я не смог неочевидное очевидным, но я доказал теорему,  используя уже известные, ранее доказанные факты. (слайд №19)

Дано: ΔАВС – прямоугольный. Угол с=90⁰; АС = в, АВ = с, ВС = а.

  Доказать, что а²+в²=с².

 Весь материал – смотрите документ.

УРОК С ЭЛЕМЕНТАМИ ДИСКУССИИ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»

(8 КЛАСС)

Тема урока: «Теорема Пифагора». Тип урока :урок объяснение нового материала

Продолжительность урока: 40 мин. Учебник: Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7-9.

Цели: 1. Образовательная - познакомить учащихся с теоремой Пифагора и научить ее применять к решению задач.

2.Развивающая - развивать мыслительные способности учащихся посредством вовлечения их в обсуждение проблемы.

3. Воспитательная – прививать устойчивый интерес к изучению математики, воспитывать культуру общения, умение вести дискуссию.

План урока:

I. Создание проблемной ситуации.

II. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства.

III. Решение задач.

IV. Итог урока.

Оборудование:

1. Персональный компьютер

2. Мультивидеопроектор, экран

3. Презентация для урока

4. Чертежные инструменты

1. Орг.момент.

2. Начало урока: наш урок мы начнем с решения одной старинной задачи. (слайд №2)

Задача. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы появилась рыба?

Переведем задачу на математический язык. (слайд №3)

Дано: АС=30, ВД=20, АВ=50.

Учитель: Что означает, что птицы летели с одинаковой скоростью и догнали рыбу одновременно?

1 ученик: Это означает, что до рыбы они пролетели одинаковое расстояние, т.е. СЕ=ДЕ.

Учитель: Что требуется найти в задаче?

2 ученик: Найти АЕ.

Учитель: Какой способ для решения задачи вы предлагаете?

3 ученик: С помощью уравнения. За Х можно принять расстояние АЕ. Тогда ВЕ=50-Х.

Учитель: Какие величины надо выразить через Х, чтобы мы могли составить уравнение?

4 ученик: Надо выразить СЕ и ДЕ.

Учитель: Можем ли мы это сделать?

1 ученик: Нет, мы не можем это сделать.

Учитель: Что мы можем сказать о треугольниках АСЕ и ВДЕ?

2 ученик: Они прямоугольные.

Учитель: Как называются стороны АС и АЕ в треугольнике АСЕ, ВД и ВЕ в треугольнике ВДЕ?

3 ученик: Они называются катетами.

Учитель: Как называются стороны СЕ и ДЕ?

4 ученик Они называются гипотенузами.

Учитель: Значит, нам надо знать зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. (слайд №4)

Эту зависимость подметили еще в глубокой древности и доказали теорему, которую знают теперь почти все школьники. Эта теорема носит имя Пифагора. Послушайте историческую справку. (слады №№5-9)

Пифагор- это не имя а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину также постоянно, дельфийский аракул, («Пифагор» значит «убеждающий речью») жил в Древней Греции (родился он в 580 г. до н.э., умер в 500 г. до н.э.). О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связан ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал: был в Индии, Египте, Вавилоне; изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В пифагорейский союз, который имел свой кодекс чести, принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения своего основателя. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Авторство всех работ приписывалось Пифагору. Заповеди Пифагора и его учеников актуальны и сейчас и могут быть приемлемы для любого здравомыслящего человека. Вот они:

- делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться;

- не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать;

- не пренебрегай здоровьем своего тела;

- приучайся жить просто и без роскоши.

Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

Физкультминутка (слайд №10)

Представим себе, как могли решать нашу проблему ученики Пифагора на одном из заседаний своего союза. (инсценировка)

Попробуем найти зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике практическим путем.

Пифагор дает задание каждому из участников представления:

- Ты построй треугольник с катетами 3 и 4.(1 ученик)

- Ты – 6 и 8. (2 ученик)

- Ты – 8 и 15.(3 ученик)

- Ты – 12 и 5.(4 ученик)

Измерим длину гипотенузы в каждом треугольнике и данные занесем в таблицу:

Пифагор: Какую зависимость видит каждый из вас?

1 ученик: У меня .

2 ученик: У меня тоже .

Пифагор: Будет ли верно и в других случаях?

3 ученик: Нет, у меня но у меня .

Пифагор: Будет ли это верно для других случаев?

1,2 ученики: Нет.

Пифагор: Значит, ни одна из формул не выражает зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике.

4 ученик: Я заметил, что 12²+5²=13², 144+25=169. Может, это будет верно и для других случаев?

Пифагор: Давайте проверим.

1,2,3 ученики: Действительно, это так.

II. Пифагор: Значит a²+b²=c². Попробуем доказать это.

Построим на сторонах прямоугольного треугольника квадраты со сторонами a,b,c.(слайд№11)

Что означает запись a²?, площадь квадрата со стороной a; b² ?, площадь квадрата со стороной b; c² - ?, площадь квадрата со стороной с.

Рис.1

Пифагор: Попробуйте сформулировать теорему.(слайд №12)

1 ученик: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.(слайд №13)

Учитель: Так звучала теорема во времена Пифагора.

2 ученик: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов.

Учитель: А так звучит современная формулировка. (слайд №14)

Пифагор: Друзья, обдумайте возможные доказательства этой теоремы. Того, кто придумает лучший способ, ждет награда.

Учитель: К настоящему времени известно более 200 способов доказательства этой теоремы. Посмотрим, какие из них предложили ученики Пифагора.

1 ученик: Квадраты, построенные на катетах, состоят из двух одинаковых треугольников. А квадрат,

построенный на гипотенузе, состоит из четырех таких треугольников. Значит, теорема верна, все очень просто.(слайд №15)

2 ученик: Просто и красиво, молодец друг.

3 ученик: Просто и красиво, но ведь ты взял не обычный прямоугольный треугольник.

1 ученик: Что же в нем необычного?

3 ученик: Ты привел доказательство для равнобедренного прямоугольного треугольника. А будет ли оно верно, если a≠b?

1 ученик: Да, пожалуй ты прав. Я подумаю еще.

2ученик: А я кажется, придумал. Если закрасить 4 треугольника на первом рисунке, то останется квадрат площадью c², а если такие же 4 треугольника закрасить на втором рисунке, то останутся квадраты площадью a² и b². Вот и получается, что c²=a²+b². (слайд №16)

Рис.3

3 ученик: Верно, верно. Я использовал этот же прием, но по-другому. Поставил рядом квадраты площадью a² и b². Теперь отрежем от них два одинаковых треугольника с катетами a и b и гипотенузой с, и переложим так, как показано на рисунке. Получим квадрат площадью с² . Значит, опять получается, что a²+b²=c².(слайд №17-18)

Пифагор: Вам обоим удалось решить эту проблему. Притом вы предложили действительно простое и красивое доказательство. В этом и состоит самый лучший математический стиль – посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

Учитель: Ребята, вы тоже можете подумать дома и предложить свои способы доказательства теоремы Пифагора.

4 ученик: А я не смог неочевидное очевидным, но я доказал теорему, используя уже известные, ранее доказанные факты.(слайд №19)

Дано: ΔАВС – прямоугольный. Угол с=90⁰; АС = в, АВ = с, ВС = а.

Доказать, что а²+в²=с².

Доказательство: АМДС – прямоугольная трапеция.

С другой стороны ; ;

Ч. т.д.

Пифагор: В чем достоинство твоего способа доказательства? (слайд №20)

4 ученик: Этот способ доступен пониманию каждого, кто занимается геометрией. Для того чтобы его освоить, не надо обладать воображением или еще какими-то особенными способностями.

1 ученик: Учитель, а как ты доказал эту теорему?

Пифагор предлагает доказательство, предложенное в учебнике.

Учитель: Ребята, мы познакомились с различными способами доказательства теоремы Пифагора, каждый из которых по-своему хорош.

Вы можете выучить к следующему уроку любое из предложенных доказательств или придумать свое.

III. Учитель: А сейчас вернемся к нашей задаче. (слайд №№21-22)

Условие задачи сохранилось на доске.

Итак, в треугольнике АСЕ: СЕ²=АС²+АЕ²=30²+Х²=900+Х²;

в треугольнике ВДЕ: ДЕ²=ВД²+ВЕ²=20²+(50-Х)²=

=400+2500- 100Х+Х²=2900-100Х+Х².

По СЕ=ДЕ СЕ²=ДЕ²=900+Х²=2900-100+Х²

100Х=2000

Х=20, АЕ=20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой нам необходимо знать теорему Пифагора.

(слайд №23)

Над озером тихим

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону.

Нет боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода глубока?

(слайд №24)

СД – глубина озера

СД – Х, СВ=2 фута

АД=ВД=Х+0,5

Треугольник ВСД – прямоугольный.

ВД²-ВС²=СД²

Х²=(Х+0,5)² - 2²

Х²=Х²+Х+0,25-4

Х=3,75 футов

Ответ: глубина озера 3,75 футов.

IV. Итог. (слайд №25-27)

1. Возможно было решение задач данного типа без знания теоремы Пифагора? Почему?

2. В чем суть теоремы Пифагора?

3. О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?

4. Древние египтяне для построения прямоугольных треугольников пользовались веревкой с завязанными на ней на одинаковых расстояниях узелками. По одной стороне они откладывали 3 отрезка, на другой 4, а на третьей – 5. Правильно ли они поступали?

Треугольник со сторонами 3,4,5 теперь мы называем египетским.

За 2000 лет до н.э., т.е. задолго до Пифагора был известен практический способ построения египетского треугольника. Пифагор же предложил первое, стройное с точки зрения математики доказательство теоремы, поэтому вся слава досталась ему.

На эту тему существует легенда о том, что, открыв теорему, Пифагор принес в жертву богам 100 быков. Послушаем стихотворение А.Шамиссо.

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношение

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков

Поэтому всегда, с тех самых пор

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед,

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Вам, наверное, известны также детские стишки о пифагоровых штанах.

Данный рисунок подтверждает их содержание. (слайд №28)

До нас дошли и другие шуточные рисунки к теореме Пифагора. (слайд №29)

Рис.8

А закончить урок мне хочется словами великого Иоганна Кеплера: «Геометрия владеет многими сокровищами, но одно из главных сокровищ – это теорема Пифагора». Сегодня мы прикоснулись к этому сокровищу, и теперь оно будет помогать нам при решении задач по геометрии. (слайд №30)

ВСЕМ СПАСИБО ЗА УРОК! (слайд №31)