Теорема Пифагора

"Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора...”

Иоганн Кеплер

Цель:

познакомиться с биографией  Пифагора, с различными способами доказательства теоремы Пифагора.

Пифагор - математик, древнегреческий философ, основатель  пифагореизма, религиозный и политический деятель.

Пифагор имел более совершенные, чем у других, органы зрения, слуха и мышления. Ему была присуща способность общения с Богами во снах и наяву. С помощи музыки он помогал видеть вещие сны.

Он слышал музыкальную волну, исходящую от отдельных светил.

Известно, что Пифагор посетил множество стран и учился у многих мыслителей того времени.

В кротоне Пифагор открывает свою школу, которая действовала около тридцати лет.

Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно философской школой,  политической партией, и религиозным братством.

Пребудет вечной истина, К ак скоро ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век.

A. Шамиссо

“ Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора...”

Иоганн Кеплер

Теорема Пифагора

“

ПРОСТОТА-

КРАСОТА –

ЗНАЧИМОСТЬ

Цель:

познакомиться с биографией Пифагора, с различными способами доказательства теоремы Пифагора

Пифагор- математик,

древнегреческий философ, основатель пифагореизма, религиозный и политический деятель

Дата и место рождения:

прим. 570 до н. э. Сидон или Самос

Дата и место

смерти:

прим. 490 до н. э. Металонт (Италия)

Школа/традиция:

Период:

Пифагореизм

Древнегреческая философия

Направление:

Западная Философия

Основные интересы:

философия, математика, музыкальная гармония, этика, политика

Значительные идеи:

Музыка сфер, Пифагорейский строй, Теорема Пифагора

Оказавшие влияние:

Фалес Милетский, Анаксимандр

Последователи:

Филолай, Алкмеон Кротонский , Парменид, Платон, Евклид, Эмпедокл, Гиппас, Кеплер

Пифагор

Пифагор имел более совершенные, чем у других, органы зрения, слуха и мышления. Ему была присуща способность общения с Богами во снах и наяву. С помощи музыки он помогал видеть вещие сны. Он слышал музыкальную волну, исходящую от отдельных светил.

Известно, что Пифагор посетил множество стран и учился у многих мыслителей того времени.

В кротоне Пифагор открывает свою школу, которая действовала около тридцати лет. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно философской школой, политической партией, и религиозным братством.

Пифагор впервые открыл математическое правило, которому подчиняется физическое явление.

.

Символическая гробница Пифагора в Кротоне.

Теорема Пифагора и способы её доказательства

Формулировки теоремы :

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Кто был первым «открывателем теоремы» Пифагора: Пифагор Самосский или египтяне?

ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО : Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Простейшее доказательство .

Доказательство теоремы Леонардо да Винчи

Половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Смотри!

b

a

a

b

a

c

b

b

b

b 2

c

=

c 2

b

c

c

a

a

a

a 2

a

a

b

b

=

+

Доказательство Гофмана

Доказательство, основанное на теории подобия

Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику.

Метод «достроения»

Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах.

Доказательство Эйнштейна

Преимуществом доказательства является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники.

Доказательство теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника. «Пифагоровы» штаны

a

b

c

Доказательство Евклида. «Пифагоровы» штаны

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.

Древнекитайское доказательство

Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. Теорема доказана.

Древнеиндийское доказательство

Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с2 перекладывается в «кресло невесты» а2-b2 (б).

Доказательство через равнодополняемость

Доказательство Гарфилда

Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.

В первом случае эта площадь равна 0,5(а+в)(а+в),

во втором ав+0,5с². Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.

Спасибо за внимание! Исполнители: Ишханян Виктория, Григорьева Дарья Евсевьева Кристина, Лапина Наталья