Скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые

Москаленко Владислав

Ученик 10 “Б” класса

a

b

Определение:

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

a b

М

b

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой.

Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости). 

Доказательство Рассмотрим прямую  AB  лежащую в плоскости и прямую  CD , которая пересекает плоскoсть в точке  D , не лежащей на прямой  AB .

  1. Допустим, что прямые  AB  и  CD  всё-таки лежат в одной плоскости. 2. Значит эта плоскость идёт через прямую  AB  и точку  D , то есть она совпадает с плоскостью α. 3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая  CD  не находится в плоскости  α , а пересекает её. Теорема доказана.

Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве

Параллельны

Пересекаются

b

b

a

М

a

b

Скрещиваются

a

а b

Теорема о скрещивающихся прямых

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство Рассмотрим скрещивающиеся прямые  AB  и  CD .  1. Через точку  D  можно провести прямую  DE  параллельную  AB .  2. Через пересекающиеся прямые  CD  и  DE  можно провести плоскость  α 3. Так как прямая  А B  не лежит в этой плоскости и параллельна прямой  DE , то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через  CD , будет пересекаться с  DE и  AB , которая ей параллельна.  Теорема доказана.

Спасибо за внимание !