Презентация к уроку геометрии по теме "Скрещивающиеся прямые"

Цели урока:

Ввести определение скрещивающихся прямых.

Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых.

Расположение  прямых  в пространстве:

Лежат в одной плоскости!

Дан куб АВСDA1B1C1D1

АА1 || DD1, как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются.

АА1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1 по теореме о трех параллельных прямых.

Являются ли АА1 и DC параллельными? Они пересекаются?

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых:

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Закрепление изученной теоремы:

1. Определить взаимное расположение  прямых АВ1 и DC.

2. Указать взаимное расположение  прямой DC и плоскости АА1В1В.

3. Является ли прямая АВ1 параллельной  плоскости DD1С1С?

Задача.

Построить  плоскость α, проходящую  через  точку К  и  параллельную  скрещивающимся  прямым  а  и  b.

Построение:

1. Через точку К провести прямую  а1 || а.

2. Через точку К провести прямую  b1 || b.

3. Через пересекающиеся прямые  проведем плоскость  α.  α – искомая плоскость.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Скрещивающиеся прямые.

МБОУ «Красногвардейская школа №1».

Цели урока:

• Ввести определение скрещивающихся прямых.
• Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых.

Расположение прямых в пространстве:

α

a

a || b

α

b

a

a ∩ b

b

Лежат в одной плоскости!

???

Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1

B 1

АА 1 || DD 1 , как противоположные

стороны квадрата, лежат в одной

плоскости и не пересекаются.

C 1

• Являются ли параллельными

прямые АА 1 и DD 1 ; АА 1 и СС 1 ?

Почему?

A 1

D 1

АА 1 || DD 1 ; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1

по теореме о трех

параллельных прямых.

B

2. Являются ли АА 1 и DC

параллельными?

Они пересекаются?

A

D

Две прямые называются

скрещивающимися ,

если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

a

b

• Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся .

Признак скрещивающихся прямых.

D

Дано: АВ α , С D ∩ α = С, С АВ.

a

Доказать, что АВ

Скрещивается с С D

С

А

В

b

Доказательство:

Допустим, что С D и АВ лежат в одной плоскости.

Пусть это будет плоскость β .

α совпадает с β

Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая С D

пересекает α . Плоскости, которой принадлежат АВ и С D не

существует и следовательно по определению скрещивающихся

прямых АВ скрещивается с С D. Ч.т.д.

Закрепление изученной теоремы:

C 1

B 1

• Определить взаимное

расположение прямых

АВ 1 и DC.

D 1

A 1

2. Указать взаимное

расположение прямой

DC и плоскости АА 1 В 1 В

B

3. Является ли прямая АВ 1

параллельной плоскости

DD 1 С 1 С?

C

A

D

Теорема:

• Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.

Дано: АВ скрещивается с С D .

Построить α : АВ α , С D || α .

C

Доказать, что α – единственная.

В

А

• Через точку А проведем прямую

АЕ, АЕ || С D .

2. Прямые АВ и АЕ пересекаются

и образуют плоскость α . АВ α ,

С D || α . α – единственная плоскость.

Е

D

3. Доказательство :

α – единственная по следствию из

аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ,

пересекает АЕ и, следовательно, прямую С D.

Задача.

• Построить плоскость α , проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b .

Построение:

b

• Через точку К провести

прямую а 1 || а.

а

2. Через точку К провести

прямую b 1 || b .

3 . Через пересекающиеся

прямые проведем

плоскость α . α – искомая

плоскость.

К

а 1

b 1

Задача №34.

Дано: D (АВС),

АМ = М D ; В N = ND; CP = PD

D

К В N .

Определить взаимное

расположение прямых:

P

M

а) ND и AB

б) РК и ВС

в) М N и AB

N

С

А

К

В

Р 1

Задача №34.

Дано: D (АВС),

АМ = М D ; В N = ND; CP = PD

D

К В N .

Определить взаимное

расположение прямых:

M

P

а) ND и AB

б) РК и ВС

в) М N и AB

N

С

А

г) МР и A С

д) К N и A С

К

е) М D и B С

В

Задача №93

N

α

Дано: a || b

a

М

MN ∩ a = M

b

Определить

взаимное расположение

прямых MN u b .

Скрещивающиеся.

Итог урока:

• Какие прямые называются скрещивающимися?
• Сформулировать признак скрещивающихся прямых
• Сформулировать свойство скрещивающихся прямых

Домашнее задание

• П.7, выучить доказательство признака скрещивающихся прямых;
• № 39, 37