Системы счисления

Структура урока

1. Мотивационный этап (1-2 мин.)

2. Актуализация знаний и умений (2-5 мин).

3. Изучение новой темы (10-15 мин.)

4. Первичное закрепление и проверка усвоения изученного материала (10-15 мин.)

5. Итог урока (1-2 мин.)

6. Рефлексия учебной деятельности (3-5 мин).

- Сегодня мы начнем изучать представление чисел в различных СС и начнем изучение с одного, на первый взгляд, непонятного и запутанного стихотворения.

Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно, Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.

Люди научились считать еще в незапамятные времена. Сначала они просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Постепенно появилось слово для обозначения двух предметов.

10-11 тысяч лет до н. э. – единичная система счисления

=

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления . Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы .

5000 лет тому назад

2500-2000 лет до н.э. - клинописные знаки

V век до н.э. – появление алфавитной нумерации

  

500 2 30

•  

500 30 2

  

2 500 30

Число образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.

Примеры:

Зарубки, палочковый счёт, чёрточки

Пользовались для запоминания чисел камешками, зернами, веревкой с узелками, другие - палочками с зарубками. Это были первые счетные приборы, которые в конце концов привели к образованию различных систем счисления.

V век до н.э. – появление алфавитной нумерации

  

500 2 30

•  

500 30 2

  

2 500 30

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча).

Сопоставьте выражения :

XV + XCVIII =

100

CXLIII – XLIII =

308

LVI * V =

280

113

CCIV + CIV =

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Использование в качестве цифр букв с различными значками - ТИТЛО

Числа в системе счисления древних майя записывались в столбец, причем верхние символы были старшими. Самая нижняя позиция соответствовала разряду единиц; «этажом выше» располагалось число двадцаток. Еще выше единица соответствовала не кратным числа 400, как можно было бы ожидать, а кратным числа 360. За исключением этого разряда, связанного, насколько можно судить, с календарными соображениями и продолжительностью года, все остальные более высокие позиции соответствовали степеням числа 20. Число 6789 в системе счисления, принятой у майя, записывалось как

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

Привычная для нас система счисления, которая использует цифры 1234567890 сложилась примерно в 400 году до н.э.

Арабы пользовались подобной нумерацией в 800 году до н.э.

В 1200 году до н.э. эту нумерацию стали использовать в Евгопе.

Знаменитый персидский математик Аль-Хорезми выпустил учебник, в котором изложил основы десятичной системы индусов.

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Для записи чисел в различных системах счисления используется определенное количество знаков или цифр. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.

Основание

Название системы счисления

2

Знаки

Двоичная

3

0, 1

Троичная

4

0, 1, 2

Четверичная

5

8

Пятеричная

0, 1, 2, 3

0, 1, 2, 3, 4

Восьмеричная

10

12

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Десятичная

16

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двенадцатеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В

Шестнадцатеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, E, F

Каждое число в позиционной системе счисления можно представить в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.

Например:

(степени расставляем над целой частью

числа слева направо, начиная с «0» )

Выберите верные утверждения:

Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные .

Десятичная и римская системы счисления являются

позиционными системами счисления

Основание системы равно сумме цифр (знаков) в ее алфавите.

Шестнадцатеричная система счисления является

позиционной системой счисления.

Перенесите данные в таблицу.

Система счисления

Основание

Алфавит цифр

0,1

0,1,2,3,4,5,6,7

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F

Двоичная

2

Восьмеричная

10

Шестнадцатеричная

8

16

Десятичная

Для каждого из нижеперечисленных чисел найдите соответствие

между числом и минимальным основанием системы счисления,

в которой может быть записано данное число

Число записанное в системе счисления

Минимальное основание системы счисления

11443

10

11002

39

161

2348

2

3

7

9

10

5

А сейчас мы с вами будем учится

переводить числа из двоичной системы

счисления в десятичную и наоборот.

Рассмотрим пример перевода числа из десятичной

системы счисления в двоичную:

Выполним задания.

Задача 1. Переведите число 135 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

ОТВЕТ: 10000111

Задача 2. Переведите число 125 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

ОТВЕТ: 1111101

Задача 3. Переведите число 141 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

ОТВЕТ: 4

Задача 1. Переведите число 1100001(2) в десятичную систему счисления.

ОТВЕТ: 97

Задача 2. Переведите число 1001010(2) в десятичную систему счисления.

ОТВЕТ : 74

Задача 3. Переведите число 1000011(2) в десятичную систему счисления.

ОТВЕТ: 67

Задача 4. Переведите число 1000110(2) в десятичную систему счисления.

ОТВЕТ: 70

Самостоятельная работа по теме

«Системы счисления».

1)  Переведите десятичные числа 25 и 109 в двоичную систему счисления.

2)  Переведите двоичные числа  111010  и 

11111100 в десятичную систему счисления.

ОТВЕТЫ :

1) 11001; 1101101

2) 58; 252

Теперь вернемся к началу урока и вспомним стихотворение, которое нам было непонятно.

Домашнее задание: переформулируйте стихотворение, воспользовавшись знаниями, полученными на уроке.

РЕФЛЕКСИЯ