Меню
Разработки
Разработки  /  Математика  /  Презентации  /  10 класс  /  Сечения тетраэдра

Сечения тетраэдра

18.11.2021

Содержимое разработки

Сечения тетраэдра

Сечения тетраэдра

Информация для учителя. Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы построения точки пересечения прямой и плоскости, прямой пересечения плоскостей и сечений тетраэдра. Учитель может использовать презентацию при проведении уроков по этой теме, или рекомендовать её для самостоятельного изучения учащимся, пропустившим по какой-то причине её изучение, или для повторения ими отдельных вопросов. Ученики сопровождают изучение презентации заполнением краткого конспекта.

Информация для учителя.

Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы построения точки пересечения прямой и плоскости, прямой пересечения плоскостей и сечений тетраэдра.

Учитель может использовать презентацию при проведении уроков по этой теме, или рекомендовать её для самостоятельного изучения учащимся, пропустившим по какой-то причине её изучение, или для повторения ими отдельных вопросов.

Ученики сопровождают изучение презентации заполнением краткого конспекта.

Информация для ученика. Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы решения задач на построение в пространстве. Постарайтесь внимательно и, не спеша, изучать комментарии на выносках и сопоставлять их с рисунком. Заполняйте в кратком конспекте все пропуски. При самостоятельном решении задач необходимо вначале самому продумать решение, а затем просмотреть предложенное автором. Запишите вопросы к учителю и задайте их на уроке.

Информация для ученика.

Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы решения задач на построение в пространстве.

Постарайтесь внимательно и, не спеша, изучать комментарии на выносках и сопоставлять их с рисунком.

Заполняйте в кратком конспекте все пропуски.

При самостоятельном решении задач необходимо вначале самому продумать решение, а затем просмотреть предложенное автором.

Запишите вопросы к учителю и задайте их на уроке.

I .Чтобы построить точку пересечения прямой а и плоскости α  нужно: 1)провести(найти)плоскость β , проходящую через прямую а и пересекающую плоскость α по прямой т 2) построить точку Р пересечения прямых а и m . I .Прямая а пересекает плоскость α . Построить точку пересечения. β а P m Через прямую а проведём плоскость β , пересекающую плоскость α  по прямой т Пересечём прямую а с линией пересечения плоскостей α и β : прямой т. Точка Р общая точка прямой а и плоскости α , т.к. прямая т лежит в плоскости α . Запишите алгоритм в краткий конспект. Ответ: α

I .Чтобы построить точку пересечения прямой а и плоскости α нужно:

1)провести(найти)плоскость β , проходящую через прямую а и пересекающую плоскость α по прямой т

2) построить точку Р пересечения прямых а и m .

I .Прямая а пересекает плоскость α . Построить точку пересечения.

β

а

P

m

Через прямую а проведём плоскость β , пересекающую плоскость α по прямой т

Пересечём прямую а с линией пересечения плоскостей α и β : прямой т.

Точка Р общая точка прямой а и плоскости α , т.к. прямая т лежит в плоскости α .

Запишите алгоритм в краткий конспект.

Ответ:

α

1)Построить точку пересечения прямой М N и плоскости BDC . D { М, N}  ( АВС ) P A C N M Через прямую М N проходит плоскость АВС, пересекающая плоскость BDC по прямой ВС . Прямая ВС лежит в плоскости BDC , значит прямая М N пересекает плоскость BDC в точке Р. Прямая М N пересекается с прямой ВС в точке Р. Ответ: B

1)Построить точку пересечения прямой М N и плоскости BDC .

D

{ М, N} ( АВС )

P

A

C

N

M

Через прямую М N проходит плоскость АВС, пересекающая плоскость BDC по прямой ВС .

Прямая ВС лежит в плоскости BDC , значит прямая М N пересекает плоскость BDC в точке Р.

Прямая М N пересекается с прямой ВС в точке Р.

Ответ:

B

2)Построить точку пересечения прямой М N и плоскости  А BD . D Прямая MN принадлежит плоскости  В DC , которая пересекает плоскость A В D по прямой DB  Пересечём прямые MN и DB . Просмотреть решение N C Ответ: A M Далее B P

2)Построить точку пересечения прямой М N и плоскости А BD .

D

Прямая MN принадлежит плоскости В DC , которая пересекает плоскость A В D по прямой DB

Пересечём прямые MN и DB .

Просмотреть решение

N

C

Ответ:

A

M

Далее

B

P

II. Чтобы построить линию пересечения  плоскости α  и плоскости АВС (С α , { А, В } α , АВ || α ),  нужно: построить точку пересечения прямой АВ и плоскости α - точку Р ; 2) точка Р и С общие точки плоскостей (АВС)  и α , значит (АВС) α = СР  II. Пусть прямая АВ не параллельна плоскости α  . Построить линию пересечения плоскостей α  и АВС, если точка С принадлежит плоскости  α  β A B P m По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α .  По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α .  Значит прямая СР искомая прямая пересечения плоскостей  АВС и α .  C Построим точку пересечения прямой АВ с плоскостью  α .  α Запишите алгоритм в краткий конспект .

II. Чтобы построить линию пересечения

плоскости α и плоскости АВС

α , { А, В } α , АВ || α ), нужно:

  • построить точку пересечения прямой АВ

и плоскости α - точку Р ;

2) точка Р и С общие точки плоскостей (АВС)

и α , значит (АВС) α = СР

II. Пусть прямая АВ не параллельна плоскости α . Построить линию пересечения плоскостей α и АВС, если точка С принадлежит плоскости α

β

A

B

P

m

По условию и построению

точки С и Р общие для плоскостей АВС и α .

По условию и построению

точки С и Р общие для плоскостей АВС и α .

Значит прямая СР искомая прямая пересечения плоскостей

АВС и α .

C

Построим точку пересечения прямой АВ с плоскостью α .

α

Запишите алгоритм в краткий конспект .

Прямая МР лежит в плоскости AD С, пересекающей плоскость AD В по прямой AD . Прямая МР лежит в плоскости AD С, пересекающей плоскость AD В по прямой AD . Точки Х и N общие точки плоскостей AD В и MNP . Значит они пересекаются по прямой Х N . Построить отрезок пересечения плоскости М NP и грани А DB . 3). Построить прямую пересечения плоскостей М NP и А DB . D P A M X C R Q N Построим точку пересечения прямой МР с плоскостью ADB ( точку Х). Ответ: Запишите ход построения в краткий конспект. B

Прямая МР лежит в плоскости AD С, пересекающей плоскость AD В по прямой AD .

Прямая МР лежит в плоскости AD С, пересекающей плоскость AD В по прямой AD .

Точки Х и N общие точки плоскостей AD В и MNP . Значит они пересекаются по прямой Х N .

Построить отрезок пересечения плоскости М NP и грани А DB .

3). Построить прямую пересечения плоскостей М NP и А DB .

D

P

A

M

X

C

R

Q

N

Построим точку пересечения прямой МР с плоскостью ADB ( точку Х).

Ответ:

Запишите ход построения в краткий конспект.

B

Сечение тетраэдра. Многоугольник, составленный из отрезков, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника, называется сечением многогранника. Отрезки, из которых состоит сечение, называются следами секущей плоскости на гранях. D α N M C P Пусть плоскость пересекает тетраэдр, тогда она называется секущей плоскостью  Плоскость пересекает рёбра тетраэдра в точках М ,N,P , а грани - по отрезкам MN, MP, NP … Треугольник М NP называется сечением тетраэдра этой плоскостью… A Запишите в краткий конспект. ∆ MNP – сечение . B

Сечение тетраэдра.

Многоугольник, составленный из отрезков,

по которым секущая плоскость пересекает

грани многогранника, называется сечением

многогранника.

Отрезки, из которых состоит сечение,

называются следами секущей плоскости на

гранях.

D

α

N

M

C

P

Пусть плоскость пересекает тетраэдр, тогда она называется секущей плоскостью

Плоскость пересекает рёбра тетраэдра в точках М ,N,P , а грани - по отрезкам MN, MP, NP

Треугольник М NP называется сечением тетраэдра этой плоскостью…

A

Запишите в краткий конспект.

MNP – сечение .

B

Сечение тетраэдра может быть так же четырёхугольником. D α N M A C Q P  MNPQ – сечение .

Сечение тетраэдра может быть так же четырёхугольником.

D

α

N

M

A

C

Q

P

MNPQ – сечение .

2) Выбрать грань, в которой ещё нет следа.  Построить точки пересечения прямых, содержащих уже построенные следы, с плоскостью выбранной грани: АВС. Построить следы секущей плоскости в тех 4) Отметить и обозначить точки, в которых  эта прямая пересекает рёбра грани АВС и достроить остальные следы. гранях, в которых есть 2 общие точки с ней.  3)Через построенные точки провести прямую, по которой секущая плоскость пересекает  плоскость выбранной грани АВС. Алгоритм построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки M,N,P . D N M A X C Q P  MNPQ – искомое сечение . B

2) Выбрать грань, в которой ещё нет следа.

Построить точки пересечения прямых, содержащих уже построенные следы, с плоскостью выбранной грани: АВС.

  • Построить следы секущей плоскости в тех

4) Отметить и обозначить точки, в которых

эта прямая пересекает рёбра грани АВС и достроить остальные следы.

гранях, в которых есть 2 общие точки с ней.

3)Через построенные точки провести прямую, по которой секущая плоскость пересекает

плоскость выбранной грани АВС.

Алгоритм построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки M,N,P .

D

N

M

A

X

C

Q

P

MNPQ – искомое сечение .

B

Построить сечение тетраэдра  плоскостью MNP .  2 способ . X D N M A C Второй способ, когда выбранная грань с одной точкой секущей плоскости А D В . Q P  MNPQ – искомое сечение . B 12

Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP . 2 способ .

X

D

N

M

A

C

Второй способ, когда выбранная грань с одной точкой секущей плоскости А D В .

Q

P

MNPQ – искомое сечение .

B

12

№ 1. (Решите самостоятельно задачу). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP . D Просмотреть решение Второй способ: M N C Q A X P B Далее X

1. (Решите самостоятельно задачу). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP .

D

Просмотреть решение

Второй

способ:

M

N

C

Q

A

X

P

B

Далее

X

№ 2. (Решите самостоятельно). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP , если  Р принадлежит грани А DC . D Просмотреть решение P R Q X A C N M Далее B

2. (Решите самостоятельно). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP , если Р принадлежит грани А DC .

D

Просмотреть решение

P

R

Q

X

A

C

N

M

Далее

B

№ 3. Построить сечение тетраэдра  плоскостью α , параллельной ребру CD и проходящей через т. F, лежащую на плоскости DBC, и точку М. Продолжите фразу:  Если данная прямая а параллельна некоторой плоскости α , то любая плоскость, проходящая через эту прямую а и непараллельная  плоскости α , пересекает плоскость α по прямой b, ……………………………………… Дано: α ||DC, {M;F} α , F (BDC), M AD. Построить сечение тетраэдра DABC Т.к. α||DC, то ( DBC) α =FP  и FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. D 2) Т. к. α||DC, то ( DAC) α =MQ   и MQ||DC, MQ AC=Q. M N параллельной прямой а. F 3) α (ADB)= MN,  α (ABC)=QP. α ||DC, значит плоскость ADC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку M  C A Q α ||DC, значит плоскость BDC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку F   DC || NP и NP α , значит DC|| α , следовательно MNPQ – искомое сечение . Продолжите… P B

3. Построить сечение тетраэдра плоскостью α , параллельной ребру CD и проходящей через т. F, лежащую на плоскости DBC, и точку М.

Продолжите фразу:

Если данная прямая а параллельна

некоторой плоскости α , то любая

плоскость, проходящая через эту

прямую а и непараллельная

плоскости α , пересекает плоскость α

по прямой b, ………………………………………

Дано: α ||DC, {M;F} α , F (BDC), M AD.

Построить сечение тетраэдра DABC

  • Т.к. α||DC, то ( DBC) α =FP

и FP||DC, FP BC=P, FP BD=N.

D

2) Т. к. α||DC, то ( DAC) α =MQ

и MQ||DC, MQ AC=Q.

M

N

параллельной прямой а.

F

3) α (ADB)= MN,

α (ABC)=QP.

α ||DC, значит плоскость ADC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку M

C

A

Q

α ||DC, значит плоскость BDC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку F

DC || NP и NP α , значит

DC|| α , следовательно

MNPQ – искомое сечение .

Продолжите…

P

B

две пересекающиеся прямые MN и MP плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DB и DC плоскости ( DBC) , значит α ||(DBC).  Продолжите фразу:  Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения……………………… № 4. Построить сечение тетраэдра  плоскостью α , параллельной грани BDC и проходящей через точку М. Дано: α ||DBC, M α , M AD. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью α  параллельны. D  α||D В C,  ( ADB) ( DBC)=BD, MN||BD. (ADB)   α =MN  M α ||D В C, значит плоскости AD В и ADC пересекают плоскости α и (В D С ) по прямым MN и МР, параллельным DB и D С соответственно и проходящим через точку M . 2)  α||D В C,  ( ADC) ( DBC)=CD, (ADC)   α =MN  MP||CD.  P A C 3)  α (ABC)=NP. N  ∆  MNP – искомое сечение, т.к……….  B

две пересекающиеся прямые MN и MP

плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DB и DC плоскости ( DBC) , значит α ||(DBC).

Продолжите фразу:

Если две параллельные плоскости

пересечены третьей плоскостью,

то линии их пересечения………………………

4. Построить сечение тетраэдра плоскостью α , параллельной грани BDC и проходящей через точку М.

Дано: α ||DBC, M α , M AD.

Построить сечение тетраэдра DABC

плоскостью α

параллельны.

D

  • α||D В C,

( ADB) ( DBC)=BD, MN||BD.

(ADB) α =MN

M

α ||D В C, значит плоскости AD В и ADC пересекают плоскости α и (В D С ) по прямым MN и МР, параллельным DB и D С соответственно и проходящим через точку M .

2) α||D В C,

( ADC) ( DBC)=CD,

(ADC) α =MN

MP||CD.

P

A

C

3) α (ABC)=NP.

N

MNP – искомое сечение, т.к……….

B

№ 5. Решите самостоятельно и запишите ход решения. Построить сечение тетраэдра плоскостью α , проходящей через точку М и отрезок PN , если PN||AB и М принадлежит плоскости (АВС). Просмотреть решение D 1 )  NP|| АВ NP||(ABC)  NP α , α (ABC)  =MQ  MQ||NP.    N Р 2)MQ AC=R.  α (ADC)=NR,  α (BDC)=PQ.  RNPQ- искомое сечение.   NP||(A В C), значит плоскость MNP пересекает плоскость A ВС по прямой MQ , параллельной NP и проходящей через точку M . C R A М Q Далее B

5. Решите самостоятельно и запишите ход решения.

Построить сечение тетраэдра плоскостью α , проходящей через точку М и отрезок PN , если PN||AB и М принадлежит плоскости (АВС).

Просмотреть решение

D

1 ) NP|| АВ NP||(ABC)

NP α ,

α (ABC) =MQ

MQ||NP.

N

Р

2)MQ AC=R.

α (ADC)=NR,

α (BDC)=PQ.

RNPQ- искомое сечение.

NP||(A В C), значит плоскость MNP пересекает плоскость A ВС по прямой MQ , параллельной NP и проходящей через точку M .

C

R

A

М

Q

Далее

B

Не забудьте сформулировать вопросы учителю, если было что-то не понятно, а также свои рекомендации по совершенствованию этой презентации.

Не забудьте сформулировать вопросы учителю, если было что-то не понятно, а также свои рекомендации по совершенствованию этой презентации.

При создании презентации были использованы учебники и пособия: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11. М. «Просвещение» 2008. 2.Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский Задачи по геометрии 7-11.М. «Просвещение» 2000

При создании презентации были использованы учебники и пособия:

1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11. М. «Просвещение» 2008.

2.Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский

Задачи по геометрии 7-11.М. «Просвещение» 2000

-82%
Курсы повышения квалификации

Современные педагогические технологии в образовательном процессе

Продолжительность 72 часа
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
4000 руб.
720 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Сечения тетраэдра (2.23 MB)