Сечения тетраэдра
Информация для учителя.
Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы построения точки пересечения прямой и плоскости, прямой пересечения плоскостей и сечений тетраэдра.
Учитель может использовать презентацию при проведении уроков по этой теме, или рекомендовать её для самостоятельного изучения учащимся, пропустившим по какой-то причине её изучение, или для повторения ими отдельных вопросов.
Ученики сопровождают изучение презентации заполнением краткого конспекта.
Информация для ученика.
Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы решения задач на построение в пространстве.
Постарайтесь внимательно и, не спеша, изучать комментарии на выносках и сопоставлять их с рисунком.
Заполняйте в кратком конспекте все пропуски.
При самостоятельном решении задач необходимо вначале самому продумать решение, а затем просмотреть предложенное автором.
Запишите вопросы к учителю и задайте их на уроке.
I .Чтобы построить точку пересечения прямой а и плоскости α нужно:
1)провести(найти)плоскость β , проходящую через прямую а и пересекающую плоскость α по прямой т
2) построить точку Р пересечения прямых а и m .
I .Прямая а пересекает плоскость α . Построить точку пересечения.
β
а
P
m
Через прямую а проведём плоскость β , пересекающую плоскость α по прямой т
Пересечём прямую а с линией пересечения плоскостей α и β : прямой т.
Точка Р общая точка прямой а и плоскости α , т.к. прямая т лежит в плоскости α .
Запишите алгоритм в краткий конспект.
Ответ:
α
1)Построить точку пересечения прямой М N и плоскости BDC .
D
{ М, N} ( АВС )
P
A
C
N
M
Через прямую М N проходит плоскость АВС, пересекающая плоскость BDC по прямой ВС .
Прямая ВС лежит в плоскости BDC , значит прямая М N пересекает плоскость BDC в точке Р.
Прямая М N пересекается с прямой ВС в точке Р.
Ответ:
B
2)Построить точку пересечения прямой М N и плоскости А BD .
D
Прямая MN принадлежит плоскости В DC , которая пересекает плоскость A В D по прямой DB
Пересечём прямые MN и DB .
Просмотреть решение
N
C
Ответ:
A
M
Далее
B
P
II. Чтобы построить линию пересечения
плоскости α и плоскости АВС
(С α , { А, В } α , АВ || α ), нужно:
- построить точку пересечения прямой АВ
и плоскости α - точку Р ;
2) точка Р и С общие точки плоскостей (АВС)
и α , значит (АВС) α = СР
II. Пусть прямая АВ не параллельна плоскости α . Построить линию пересечения плоскостей α и АВС, если точка С принадлежит плоскости α
β
A
B
P
m
По условию и построению
точки С и Р общие для плоскостей АВС и α .
По условию и построению
точки С и Р общие для плоскостей АВС и α .
Значит прямая СР искомая прямая пересечения плоскостей
АВС и α .
C
Построим точку пересечения прямой АВ с плоскостью α .
α
Запишите алгоритм в краткий конспект .
Прямая МР лежит в плоскости AD С, пересекающей плоскость AD В по прямой AD .
Прямая МР лежит в плоскости AD С, пересекающей плоскость AD В по прямой AD .
Точки Х и N общие точки плоскостей AD В и MNP . Значит они пересекаются по прямой Х N .
Построить отрезок пересечения плоскости М NP и грани А DB .
3). Построить прямую пересечения плоскостей М NP и А DB .
D
P
A
M
X
C
R
Q
N
Построим точку пересечения прямой МР с плоскостью ADB ( точку Х).
Ответ:
Запишите ход построения в краткий конспект.
B
Сечение тетраэдра.
Многоугольник, составленный из отрезков,
по которым секущая плоскость пересекает
грани многогранника, называется сечением
многогранника.
Отрезки, из которых состоит сечение,
называются следами секущей плоскости на
гранях.
D
α
N
M
C
P
Пусть плоскость пересекает тетраэдр, тогда она называется секущей плоскостью
Плоскость пересекает рёбра тетраэдра в точках М ,N,P , а грани - по отрезкам MN, MP, NP …
Треугольник М NP называется сечением тетраэдра этой плоскостью…
A
Запишите в краткий конспект.
∆ MNP – сечение .
B
Сечение тетраэдра может быть так же четырёхугольником.
D
α
N
M
A
C
Q
P
MNPQ – сечение .
2) Выбрать грань, в которой ещё нет следа.
Построить точки пересечения прямых, содержащих уже построенные следы, с плоскостью выбранной грани: АВС.
- Построить следы секущей плоскости в тех
4) Отметить и обозначить точки, в которых
эта прямая пересекает рёбра грани АВС и достроить остальные следы.
гранях, в которых есть 2 общие точки с ней.
3)Через построенные точки провести прямую, по которой секущая плоскость пересекает
плоскость выбранной грани АВС.
Алгоритм построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки M,N,P .
D
N
M
A
X
C
Q
P
MNPQ – искомое сечение .
B
Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP . 2 способ .
X
D
N
M
A
C
Второй способ, когда выбранная грань с одной точкой секущей плоскости А D В .
Q
P
MNPQ – искомое сечение .
B
12
№ 1. (Решите самостоятельно задачу). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP .
D
Просмотреть решение
Второй
способ:
M
N
C
Q
A
X
P
B
Далее
X
№ 2. (Решите самостоятельно). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP , если Р принадлежит грани А DC .
D
Просмотреть решение
P
R
Q
X
A
C
N
M
Далее
B
№ 3. Построить сечение тетраэдра плоскостью α , параллельной ребру CD и проходящей через т. F, лежащую на плоскости DBC, и точку М.
Продолжите фразу:
Если данная прямая а параллельна
некоторой плоскости α , то любая
плоскость, проходящая через эту
прямую а и непараллельная
плоскости α , пересекает плоскость α
по прямой b, ………………………………………
Дано: α ||DC, {M;F} α , F (BDC), M AD.
Построить сечение тетраэдра DABC
- Т.к. α||DC, то ( DBC) α =FP
и FP||DC, FP BC=P, FP BD=N.
D
2) Т. к. α||DC, то ( DAC) α =MQ
и MQ||DC, MQ AC=Q.
M
N
параллельной прямой а.
F
3) α (ADB)= MN,
α (ABC)=QP.
α ||DC, значит плоскость ADC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку M
C
A
Q
α ||DC, значит плоскость BDC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку F
DC || NP и NP α , значит
DC|| α , следовательно
MNPQ – искомое сечение .
Продолжите…
P
B
две пересекающиеся прямые MN и MP
плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DB и DC плоскости ( DBC) , значит α ||(DBC).
Продолжите фразу:
Если две параллельные плоскости
пересечены третьей плоскостью,
то линии их пересечения………………………
№ 4. Построить сечение тетраэдра плоскостью α , параллельной грани BDC и проходящей через точку М.
Дано: α ||DBC, M α , M AD.
Построить сечение тетраэдра DABC
плоскостью α
параллельны.
D
- α||D В C,
( ADB) ( DBC)=BD, MN||BD.
(ADB) α =MN
M
α ||D В C, значит плоскости AD В и ADC пересекают плоскости α и (В D С ) по прямым MN и МР, параллельным DB и D С соответственно и проходящим через точку M .
2) α||D В C,
( ADC) ( DBC)=CD,
(ADC) α =MN
MP||CD.
P
A
C
3) α (ABC)=NP.
N
∆ MNP – искомое сечение, т.к……….
B
№ 5. Решите самостоятельно и запишите ход решения.
Построить сечение тетраэдра плоскостью α , проходящей через точку М и отрезок PN , если PN||AB и М принадлежит плоскости (АВС).
Просмотреть решение
D
1 ) NP|| АВ NP||(ABC)
NP α ,
α (ABC) =MQ
MQ||NP.
N
Р
2)MQ AC=R.
α (ADC)=NR,
α (BDC)=PQ.
RNPQ- искомое сечение.
NP||(A В C), значит плоскость MNP пересекает плоскость A ВС по прямой MQ , параллельной NP и проходящей через точку M .
C
R
A
М
Q
Далее
B
Не забудьте сформулировать вопросы учителю, если было что-то не понятно, а также свои рекомендации по совершенствованию этой презентации.
При создании презентации были использованы учебники и пособия:
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11. М. «Просвещение» 2008.
2.Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский
Задачи по геометрии 7-11.М. «Просвещение» 2000