Школьная математическая олимпиада для обучающихся 8 класса

Калужская область Малоярославецкий район

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников в 2020-2021 учебном году

Олимпиадные задания по математике для обучающихся 8 класса

Составитель: Никонорова Л.А., учитель математики

МОУ Детчинской средней общеобразовательной школы

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 2020/2021

Школьный этап

8 класс

Задания

1. Брат с сестрой решили купить альбом для марок стоимостью 310 руб. Если брат отдаст своих денег, а сестра своих денег, то этого хватит на покупку альбома. Сколько денег у брата и сестры, если у них всего 440руб.

2. Света перемножила 18 двоек, а Витя перемножил 14 пятёрок.

Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет

сумма цифр произведения?

3. В выражении

замените каждую из букв Р, А, З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы— на одинаковые цифры, разные буквы — на разные цифры) так, чтобы значение выражения получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.

4. В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

5. В викторине по математике участвовали 5 человек.
На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Антона равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Ивана равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в математической викторине?

Рекомендуемое время проведения олимпиады для 8 классов - 3 урока

Основные принципы оценивания приведены в таблице

Решение и критерии оценивания

1. Ответ: У брата 240 руб., у сестры 200 руб.

Указание к решению:

Где х и у – соответственно денег у брата и сестры.

Критерии оценивания:

7 баллов. Полное верное решение.

5-6 баллов. Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на

решение.

3-4балла. Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

1-2 балла. Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0 баллов. Решение отсутствует.

2. Ответ. 7.

Решение. Всего перемножается 18 двоек и 14 пятёрок. Переставим сомножители, чередуя двойки и пятёрки. Получится 14 пар 2 ·5 и ещё четыре двойки, дающие в произведении 16. Итак, число 16 нужно 14 раз умножить на 10. Получается число, состоящее из цифр 1 и 6 и 14 нулей. Сумма цифр равна 7.

Другой способ записи тех же рассуждений можно получить, используя

свойства степеней.

2¹⁸∙ 5¹⁴= (2∙ 5) ¹⁴∙ 2⁴ = 16∙10¹⁴

Критерии оценивания:

7 баллов. Любое полное верное решение.

5 баллов. Верный ход решения, получено верное произведение, но сумма цифр не

указана.

2-3 балла. Сделана группировка двоек и пятёрок по парам, дающим десятки, но

ответ не получен или получен неверно.

0 баллов. Решение отсутствует.

3. Ответ: Наибольше значение равно 36,5 и достигается, например, при C = 1,

У = 2, Е = 9, Й = 8, Р = 4, А = 5, З = 6.

Решение. Вынесем за скобки общий множитель в числителе дроби и сократим: Р ∙ А ∙ З

Поскольку каждая буква заменяется на одну цифру С∙У ≥ 2 и Е∙Й ≤ 72. Поэтому

Осталось как-нибудь заменить все буквы Р, А, З, Е, Й, С, У на цифры так, чтобы значение 36,5 достигалось. Для этого необходимо поставить вместо С и У цифры 1 и 2 в любом порядке, вместо Е и Й — цифры 8, 9 в любом порядке, а оставшиеся

буквы Р, А и З заменить на какие-либо из оставшихся цифр, например, так: Р = 4,

А = 5, З = 6.

Критерии оценивания:

7 баллов. Любое полное верное решение.

6 баллов. Верное решение, но ничего не написано про цифры, которыми нужно заменить буквы Р, А и З.

4-5 баллов. Верно и обосновано найдено, какими цифрами нужно заменить У, С, Е, Й,

но допущена арифметическая ошибка и получен неверный ответ.

3 балла. Приведены верный ответ и верный пример расстановки цифр, но не доказано, что это значение наибольше (сокращение дроби не выполнено).

2 балла. Правильно выполнено сокращение дроби, но дальнейшие рассуждения отсутствуют или неверны.

1 балл. Приведён верный пример расстановки цифр, значение выражения не найдено или найдено неверно, его максимальность не доказана.

4.  Ответ: 1.

Р ешение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX —биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;

XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5.

Тогда XY = AD — AY — XD = 11 — 5 — 5 = 1.

Критерии оценивания:

7 баллов. Любое верное решение.

4-5 баллов. Доказано, что AY = 5, но при этом длина отрезка XY не найдена или найдена неверно

2-3 балла. Доказано, что треугольник ABX равнобедренный и нет дальнейших продвижений

1 балл. Приведён верный ответ без доказательства.

5. Ответ: 14

Решение:
Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Антон дал 10 верных ответов, Иван — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем

10 + 13 + 3∙11 =56, и не больше, чем 10 + 13 + 3 ∙ 12 = 59.
Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 14.

Критерии оценивания:

7 баллов. Любое полное верное решение.

5-6 баллов. Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на

решение.

3-4балла. Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

1-2 балла. Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0 баллов. Решение отсутствует.