Решение задач "Табличное задание долга или условий начисления процентов"

Скабелина О.А.

Решение задач № 9-12 по теме «Табличное задание долга или условий начисления процентов»

9. Егор взял кредит 1 марта 2017 года на сумму S млн. рублей. Условия его возврата таковы:

– 15 апреля каждого года сумма долга увеличивается на 20% по сравнению с началом предыдущего года;

– с 1 июня по 1 июля каждого года необходимо выплатить часть долга;

– 1 августа каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Начиная с 2023 года, долг равномерно уменьшается на 100 000 рублей в год. Определите сумму кредита S, если общая сумма выплат равна 4,72 млн. рублей.

РЕШЕНИЕ

Заполним таблицу по условию задачи:

Пусть ежегодно, начиная с 2023 года, в течение n лет выплачивали по 0,1 млн. рублей. За n лет будет выплачено сумма А = 0,1n млн. рублей. С другой стороны А = S – 1,8. Тогда S = A+1,8 = 0,1n+1,8.

Выплаты, начиная с 2023 года, представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, в которой Сумма n-членов этой прогрессии равна = (0.1A + 0.11)n = 0.01n² + 0.11n

Общая сумма выплаты долга равна

0,2S + 0,3 + 0,2S + 0,14 + 0,2S - 0,4 + 0,2S + 0,2 + 0,2S + 0,02 + 0,2S - 0,24 + 0,01n² + 0.11n = 4.72

1.2S + 0.82 + 0,01n² + 0.11n = 4.72

1.2 (0,1n+1,8) + 0.82 + 0,01n² + 0.11n - 4.72 = 0

0.12n + 2.16 + 0.82 + 0,01n² + 0.11n - 4.72 = 0

0.01n² + 0.23n – 1.74 = 0

n² + 23n – 174 = 0

D = 23² + 4 * 174 = 1225 √D = 35

Решая квадратное уравнение, получим n₁= 6 и n₂ = –29 (не удовл условию задачи).

Таким образом, S = 0,1 6 + 1,8 = 2,4.

Ответ: 2,4 млн. рублей.

10. Борис взял кредит 1 марта 2015 года на сумму S млн. рублей. Условия его возврата таковы:

– 15 апреля каждого года сумма долга увеличивается на 10% по сравнению с началом предыдущего года;

– с 1 июня по 1 июля каждого года необходимо выплатить часть долга;

– 1 августа каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Начиная с 2020 года, долг равномерно уменьшается на 200 000 рублей в год. В каком году Борис планирует совершить последний платеж, если общая сумма выплат равна 17,68 млн. рублей?

РЕШЕНИЕ

Заполним таблицу по условию задачи:

Пусть ежегодно, начиная с 2020 года, в течение n лет выплачивали по 0,2 млн. рублей. За n лет будет выплачено сумма А = 0,2n млн. рублей. С другой стороны А = S – 3. Тогда S = A + 3 = 0,2n + 3

Выплаты, начиная с 2020 года, представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, в которой a₁ = 0.1A + 0.2, a_n = 1.1 * 0.2 Сумма n-членов этой прогрессии равна = (0,05А + 0,21)n = 0.01n² + 0.21n

Общая сумма выплаты долга равна

0.1S + 1+ 0.1S + 0.9 + 0.1S + 0.2 + 0.1S + 0.16 + 0.1S + 0.08 + 0.01n²+ 0.21n = 17,68

0.5S + 2.34 + 0.01n²+ 0.21n = 17,68

0.5 (0.2n + 3) + 2.34 + 0.01n²+ 0.21n = 17,68

0.1n + 1.5 + 2.34 + 0.01n²+ 0.21n - 17,68 = 0

0.01n² + 0.31n - 13.84 = 0

n² + 31n - 1384 = 0

D = 31² + 4 * 1384 = 961 + 5536 = 6497 √D ≈ 80

Решая квадратное уравнение, получим n₁ ≈ 24.5 и n₂ ≈ - 55.5 (не удовл условию задачи).

Таким образом, 2020 + 24.5 = 2044.5, то есть в 2045 году последний платеж.

Ответ: 2045.

11. Лидия положила некоторую сумму на счёт в банке на полгода. По этому вкладу установлен «плавающий» процент, то есть число начисленных процентов зависит от числа полных месяцев нахождения вклада на счёте. В таблице представлены условия начисления процентов.

На сколько процентов сумма на счёте Лидии при таких условиях больше суммы, положенной на счёт, если каждый месяц, за исключением последнего, после начисления процентов она добавляет на счёт такую сумму, чтобы за месяц вклад увеличился на 10% от первоначального вклада?

РЕШЕНИЕ

Проценты начисляют за 1 месяц, значит

6% годовых это 6/12 = 0,5 % в месяц
18% годовых это 18/12 = 1,5% в месяц
12% годовых это 12/12 = 1% в месяц

Пусть сумма вклада равна S

Считаем начисления банка: 0,005S + 0,0055S + 0,018S + 0,0195S + 0,014S + 0,015S = 0,077S
S - 100%
0,077S - p%
p = 0,077 S ·100/S = 7,7%
Ответ: 7,7%

12. Оксана положила некоторую сумму на счет в банке на полгода. По этому вкладу установлен «плавающий» процент, то есть число начисленных процентов зависит от числа полных месяцев, которые вклад пролежал на счете.

В таблице указаны условия начисления процентов. 

 Начисленные проценты добавляются к сумме вклада. В конце каждого месяца, за исключением последнего Оксана после начисления процентов добавляет такую сумму, чтобы вклад ежемесячно увеличивался на 5% от первоначального. Какой процент от суммы первоначального вклада составляет сумма, начисленная банком в качестве процентов?

РЕШЕНИЕ.

Проценты начисляют за 1 месяц, значит

12% годовых это 12/12 = 1% в месяц
24% годовых это 24/12 = 2% в месяц
18% годовых это 18/12 = 1,5% в месяц

Пусть сумма вклада равна S

Считаем начисления банка:

0,001S + 0,0105S + 0,01375S + 0,014375S + 0,018S + 0,01875S = 0,085375S
S - 100%
0,085375S - p%
p = 0,085375S * 100/S = 8,5375%
Ответ: 8,5375%