Решение логарифмических и показательных неравенств

Один из способов решения логарифмических и показательных неравенств.

МБОУ «СОШ №5»

Истомина Л.Г

1 и 0 В первом случае получаем систему Во втором случае получаем систему Итак, решением неравенства является интервал " width="640"

Пример 1. Для стандартного решения неравенства требуется рассмотрения двух случаев: х 1 и 0

В первом случае получаем систему

Во втором случае получаем систему

• Итак, решением неравенства является интервал

1 и b 1, то и (а - 1)( b -1) 0; если а 1 и 0 и ( a - 1)( b - 1) если 0 1, то и ( a - 1)( b - 1) если 0 и (а- 1)( b - 1) 0. " width="640"

Однако эту задачу можно решить иначе. Необходимо только заметить, что знак выражения совпадает со знаком произведения (а-1)( b -1) Действительно:

• если а 1 и b 1, то

и (а - 1)( b -1) 0;

• если а 1 и 0

и ( a - 1)( b - 1)

• если 0 1, то

и ( a - 1)( b - 1)

• если 0

и (а- 1)( b - 1) 0.

Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощают решение логарифмических неравенств. Так, рассмотренное в начале неравенство с помощью обнаруженного свойства решается совсем просто.

Ответ:

Пример 2. Решите неравенство

Решение.

Ответ: (-1;0)

(0;1)

Использование этого свойства намного упрощает решение сложных неравенств. Пример 3. Решите неравенство .

Решение.

0, a ≠1, b 0, c 0, верны следующие утверждения: 1) неравенства и ( b - c )(а-1)0 равносильны; 2) неравенства и ( b - c )(а-1)≥0 равносильны; 3) неравенства и ( b - c )(а-1)4) неравенства и ( b - c )(а-1)≤0 равносильны " width="640"

Обобщим полученный результат о совпадении знаков и ( a -1)( b -1). Теорема 1. Для чисел a , b и с, таких, что a 0, a ≠1, b 0, c 0, верны следующие утверждения:

1) неравенства и ( b - c )(а-1)0 равносильны;

2) неравенства и ( b - c )(а-1)≥0 равносильны;

3) неравенства и ( b - c )(а-1)

4) неравенства и ( b - c )(а-1)≤0 равносильны

Пример 4. Решите неравенство

0 равносильны; 2) неравенства и ( a – 1)( b - с) ≥ 0 равносильны; 3) неравенства и ( a -1)( b - с) 4) неравенства и ( a - 1)( b - с) ≤ 0 равносильны. " width="640"

Следствие. При всех допустимых значениях а, b и с верны следующие утверждения:

1) неравенства и ( a - 1 )( b - с) 0 равносильны;

2) неравенства и ( a – 1)( b - с) ≥ 0 равносильны;

3) неравенства и ( a -1)( b - с)

4) неравенства и ( a - 1)( b - с) ≤ 0 равносильны.

Пример 5. Решите неравенство

Решение.

Пример 6. Решите неравенство

Решение. Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем

( x - 1 -1)( x - 1), а вместо числителя, согласно следствию из теоремы 1, - произведение ( x -1)(х- 3 - 9 +х).

0 равносильны; 2) неравенства и (а – 1)( b - 1)(с -1)( d - 1) ≥0 равносильны; 3) неравенства и (а – 1)( b - 1)(с -1)( d - 1) 4) неравенства и (а – 1)( b - 1)(с -1)( d - 1) ≤0 равносильны. " width="640"

Приведенный пример убедительно демонстрирует преимущества решения неравенств подобного типа с помощью выбранного метода. Умение пользоваться этим методом очень поможет абитуриентам, поскольку эти задачи - «частые гости» на вступительных экзаменах в вузы. Рассмотрим еще ряд полезных утверждений.

Теорема 2. При всех допустимых значениях а, b , с и d верны следующие утверждения:

1) неравенства и (а – 1)( b - 1)(с -1)( d - 1) 0 равносильны;

2) неравенства

и (а – 1)( b - 1)(с -1)( d - 1) ≥0 равносильны;

3) неравенства

и (а – 1)( b - 1)(с -1)( d - 1)

4) неравенства

и (а – 1)( b - 1)(с -1)( d - 1) ≤0 равносильны.

Пример 7. Решите неравенство

Решение.

0 равносильны; 2) Неравенства и (а -1)( b -1)(с -1)(с - а) ≥0 равносильны; 3) неравенства и (а -1)( b -1)(с -1)(с - а)4) неравенства и (а -1)( b -1)(с -1)(с - а)≤0 равносильны. " width="640"

Теорема 3. При всех допустимых значениях а, b и с верны следующие утверждения:

1) неравенства

и (а -1)( b -1)(с -1)(с - а) 0 равносильны;

2) Неравенства

и (а -1)( b -1)(с -1)(с - а) ≥0 равносильны;

3) неравенства

и (а -1)( b -1)(с -1)(с - а)

4) неравенства

и (а -1)( b -1)(с -1)(с - а)≤0 равносильны.

Пример 8. Решите неравенство

Решение.

Пример 9 (филологический факультет МГУ,2001 г.)

Решение .

1 и (а - 1) b 0 равносильны; 2)неравенства ≥ 1 и ( a -1) b ≥ 0 равносильны; 3)неравенства 4)неравенства ≤1 и ( a - 1) b ≤0 равносильны. " width="640"

Аналогичные свойства можно обнаружить и у неравенств, содержащих степени. Сформулируем эти свойства. Теорема 4. При всех допустимых значениях: а и b справедливы следующие утверждения;

1)неравенства 1 и (а - 1) b 0 равносильны;

2)неравенства ≥ 1 и ( a -1) b ≥ 0 равносильны;

3)неравенства

4)неравенства ≤1 и ( a - 1) b ≤0 равносильны.

и ( a -1)( b - с) 0 равносильны; 2) неравенства ≥ и (а -1)( b -с) ≥ 0 равносильны; 3) неравенства 4) неравенства ≤ и ( a -1)( b - с) ≤ 0 равносильны. " width="640"

Теорема 5. При всех допустимых значениях а, b и с справедливы следующие утверждения:

1) неравенства и ( a -1)( b - с) 0 равносильны;

2) неравенства ≥ и (а -1)( b -с) ≥ 0 равносильны;

3) неравенства

4) неравенства ≤ и ( a -1)( b - с) ≤ 0 равносильны.

0 и (а - 1)( b – с) 0 равносильны; 2) неравенства - ≥ 0 и ( a - 1)( b - с)≥0 равносильны; 3) неравенства - 4) неравенства - ≤ 0 и (а - 1 )( b - с) ≤0 равносильны. " width="640"

Следствие. При всех допустимых значениях а, b и с справедливы следующие утверждения;

1) неравенства - 0 и (а - 1)( b – с) 0 равносильны;

2) неравенства - ≥ 0 и ( a - 1)( b - с)≥0 равносильны;

3) неравенства -

4) неравенства - ≤ 0 и (а - 1 )( b - с) ≤0 равносильны.

Пример 10. Решите неравенство

Решение.

Пример 11. Решите неравенство

Решение.

Ответ:(- ∞;-2)U(0;1)

Рассмотрим несколько примеров на комбинацию рассмотренных свойств. Пример 12. Решите неравенство

Решение.

Ответ: (1; 2).

Пример 13. Решите неравенство

Решение.

Пример 14. Решите неравенство

Решение.