Разработка урока по геометрии "Применение векторов к решению задач"

Цели:

1. Дидактическая цель:

систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся; продолжить формировать навыки решения задач с применением векторов.

2. Воспитательная:

воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

3. Развивающая цель:

способствовать развитию наблюдательности, умения сравнивать, делать выводы, содействовать развитию математического мышления учащихся.

Мотивация познавательной деятельности учащихся:

показать практическую значимость изучаемого материала.

Обратить внимание учащихся на большое разнообразие упражнений, которые решаются с применением векторов:

1. Задачи аналитического характера на вычисления.

2. Задачи геометрического характера (вычислительные или  на доказательство).    

Эти задачи имеют большую познавательную ценность, т.к. в них часто требуется открыть какое-либо новое свойство уже известной геометрической фигуры.

3. Задачи прикладного характера (из физики, механики и других дисциплин).

Ход урока.

I. Организационный момент.

Приветствие (отметить отсутствующих, кратко выяснить причину отсутствия). Написать на доске (можно заранее) дату, тему урока. Раздать учащимся раздаточный материал: с текстом теста и оценочный лист для блиц-опроса.

II. Провести проверку домашнего задания.

1) Вызываются к доске для проверки д/з 2 учащихся для записи и объяснения решений №330 (а,б,д), 335(в,г), 340.

На доске заранее приготовлены чертежи к задачам.

№330.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁-параллелепипед.

С₁D_{1 =} a, BA₁ = b, AD = c.

Изобразить на рисунке векторы:

а) a - b.

б) a - c.

д) c - a.

Решение:

а) a - b  = С₁D₁ - BA₁  = BA - BA₁ = А₁А.

б) a - c  = С₁D₁ – AD = ВА – ВС = С.

д) с - а = АD - С₁D ₁ = ВС – ВА = АС.

№335

В) КМ + DF + АС + FK + СD + СA + MP = KP + СF + FK = KP + CK = CK + KP = CP

Г) AB + BA + CD + MN + DC + NM = 0

№340.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – треугольная призма

АА₁ + В₁С – х = ВА

Найти: вектор х.

Решение

АА₁ + В₁С = ВВ₁ + В₁С= ВС

ВС – х = ВА

х = ВС – ВА

х = АС

Ответ: АС

III. Сообщение темы, постановка цели и задач урока и мотивации учения учащихся.

IV. Актуализация опорных знаний.

А) Фронтальный опрос

Опрос на повторение определений и свойств сложения векторов, вычитания векторов, умножения вектора на число. По окончании опроса разбор д/з.

1. Что называется вектором?

2. Что такое нулевой вектор?

3. Что называется длиной ненулевого вектора?

4. Какие два ненулевых вектора называются коллинеарными?

5. Какие два ненулевых вектора АВ и CD называются сонаправленными и противоположно направленными?

6. Отметить связь изучаемых понятий с курсом физики.(рассм.рис.95 (а,б) учебника)

7. Дать определение равных векторов.

8. Дать правило сложения двух произвольных векторов а и в.

9. Какие правила сложения векторов вы знаете?

10. Каким законам подчиняется сложение векторов?

11. Что называется разностью векторов а и в?

12. Как находится сумма нескольких векторов?

Весь материал - в документе.

10 класс. Геометрия.

Тема: «Применение векторов к решению задач».

«Три пути ведут к знанию: путь размышлений – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький». Конфуций.

Тип урока: Урок закрепления и совершенствования знаний, навыков и умений.

Цели:

1.Дидактическая цель: систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся; продолжить формировать навыки решения задач с применением векторов.

2.Воспитательная: воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

3.Развивающая цель: способствовать развитию наблюдательности, умения сравнивать, делать выводы, содействовать развитию математического мышления учащихся.

Вид урока: Урок-практикум. Формирование умений и навыков .

Оборудование: Экран, кодоскоп, кодопозитивы, магнитная доска, плакаты 1-3.У учащихся на рабочем месте карточки с заданиями тестов и оценочный лист для блиц-опроса..

Мотивация познавательной деятельности учащихся: показать практическую значимость изучаемого материала. Обратить внимание учащихся на большое разнообразие упражнений, которые решаются с применением векторов:

1.Задачи аналитического характера на вычисления.

2.Задачи геометрического характера (вычислительные или на доказательство).

Эти задачи имеют большую познавательную ценность, т.к. в них часто требуется открыть какое-либо новое свойство уже известной геометрической фигуры.

3.Задачи прикладного характера (из физики, механики и других дисциплин).

ХОД УРОКА.

I.Организационный момент.

Приветствие (отметить отсутствующих, кратко выяснить причину отсутствия). Написать на доске (можно заранее) дату, тему урока. Раздать учащимся раздаточный материал: с текстом теста и оценочный лист для блиц-опроса.

II.Провести проверку домашнего задания.

1)Вызываются к доске для проверки д/з 2 учащихся для записи и объяснения решений №330(а,б,д), 335(в,г), 340.

На доске заранее приготовлены чертежи к задачам.

№330

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁-параллелепипед .

С₁D_{1 =} a, BA₁ = b, AD = c .

Изобразить на рисунке векторы:

а) a – b . б) a – c. д) c - a .

Р

D₁

С₁

А₁

В₁

D

А

В

С

№335

В) КМ + DF + АС + FK + СD + СA + MP = KP + СF + FK = KP + CK = CK + KP = CP

Г) AB + BA + CD + MN + DC + NM = 0

Дано: АВСА₁В₁С₁ – треугольная призма

АА₁ + В₁С – х = ВА

Найти: х

Решение

1. АА₁ + В₁С = ВВ₁ + В₁С= ВС

2. ВС – х = ВА

х = ВС – ВА

х = АС

Ответ: АС

№340

III. Сообщение темы, постановка цели и задач урока и мотивации учения учащихся.

IV. Актуализация опорных знаний

А) Фронтальный опрос

Опрос на повторение определений и свойств сложения векторов, вычитания векторов, умножения вектора на число. По окончании опроса разбор д/з.

1.Что называется вектором?

2.Что такое нулевой вектор?

3.Что называется длиной ненулевого вектора?

4.Какие два ненулевых вектора называются коллинеарными?

5.Какие два ненулевых вектора АВ и CD называются сонаправленными и противоположно направленными?

6.Отметить связь изучаемых понятий с курсом физики.(рассм.рис.95(а,б) учебника)

7.Дать определение равных векторов.

8.Дать правило сложения двух произвольных векторов а и в.

9.Какие правила сложения векторов вы знаете?

10.Каким законам подчиняется сложение векторов?

11.Что называется разностью векторов а и в?

12.Как находится сумма нескольких векторов?

13. Как находить сумму и разность векторов а и в, не прибегая к рисункам, обратив внимание на расположение букв в записях АВ + ВС= АС, ОА – ОВ = ВА. А₁А₂ + А₂А₃ + А₃А₄ + А₄А₅ = А₁А_5. Если А₁=А₅, то А₁А₅=0

14.Что называется произведением ненулевого вектора а на число к? Как оно обозначается, каким законам подчиняется?

15.Напомнить лемму о коллинеарных векторах «Если векторы а и в коллинеарны и а не равен 0, то существует такое число к, что в = к*а ».

Самостоятельная работа с последующей проверкой.

Б) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

2 учащихся идут за доску решать см.работу и затем весь класс сверяет с ними свои ответы. А в это время 1 учащийся готовит решение на доске творческого дом.задания(№385)

1.АВ + BC + CD = AD

2. DA + CD + AB = CB

3. AB + CA + BD + DC = 0

4. AC + CD – AM = MD

5. AB – CD – AC + BE = DE

6. KT – KE + AT – AE = 2ET

В) Творческое задание.(№ 385)

О

Дано: ABCD – четырехугольник

К,Т,L,N – середины AD,DC,CB,AB

KL∩TN=М

О – произвольная точка пространства

Доказать: ОМ = ¼( ОА + ОВ + ОС + OD)

Доказательство:

1. П

   В

   ри доказательстве воспользуемся тем, что в любом треугольнике АВС выполняется:

А

С

D

BO = ½(BA + BC)

2BO = BA + BC

1. Запишем для каждой боковой грани пирамиды ОABCD: а затем сложим их

2ОК = ОА + OD

2

+

2ON = OA + OB

2OL = OC + OB

2(OK + OT + OL + ON) = 2OA + 2OB + 2OC + 2OD

OK + OT + OL + ON = OA + OB + OC + OD

1. Также и для ∆OKL и ∆ONT запишите и сложите

2

+

2OM = ON + OT

4OM = OK + OT + OL + ON

OM = ¼(OK + OT + OL + ON)

ОМ = ¼(ОА + ОВ + ОС + OD) что и требовалось доказать.

V. Формирование навыков и умений учащихся. Решение задач и воспроизведение учащимися знаний и способов действий. Применение учащимися приобретенных знаний.

№

С₁

А₁

С

А

D

Доказательство:

А

О

Дано: ABCD – параллелограмм

Е и F – середины АВ и ВС

О – произвольная точка пространства

Выразить: ОА – ОС через вектор EF

№345

F

Е

С

D

А

Решение

1. ОА – ОС = СА

2. ∆АВС: EF – средняя линия ∆АВС= EF||AC и EF = ½AC

Поэтому EF = -½CА

EF = -½(OA – OC)

OA – OC= -2EF

Ответ: ОА – ОС= -2ЕF

№353

Дано: векторы а+2в и а-3в – коллинеарные.

Доказать: а и в – коллинеарные .

Доказательство:

Пусть а + 2в = m и а - 3в=n

Т.к. по условию а+2в и а-3в коллинеарные, то m=kn, т.е.

(а + 2в)=к ( а-3в )

а + 2в = ка – 3кв

2в + 3кв = ка – а

(2+3к) в = (к-1)а

в = (к-1)/ (2 + 3к) * а пусть L = (n-1) / (2+3k), тогда

в = L a= а и в – коллинеарные, что и требовалось доказать.

Задача Решение задач творческого типа.

1.Отметьте на прямой а три точки А, В, М так, чтобы АМ=2МВ. Точка О – произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ через векторы ОА и ОВ.

Решение:

АМ=2МВ, чтобы выразить ОМ через ОА и ОВ надо ввести ОА и ОВ в равенство: АМ=2МВ.

ОМ – ОА=2ОВ – 2ОМ.

2ОМ + ОМ = ОА + 2ОВ.

3ОМ = ОА + 2ОВ.

ОМ = ⅓ОА + ⅔ОВ.

2.Точки А, В и М лежат на одной прямой, причем АМ=βМВ. Найдите β, если для данных точек и произвольной точки О выполняется:

ОМ = ⅓ОА + ⅔ОВ

Решение

АМ=βМВ

ОМ – ОА= β(ОВ – ОМ)

ОМ- ОА= βОВ – βОМ

⅓ОА + ⅔ОВ – ОА= βОВ – β(⅓ОА + ⅔ОВ)

⅔ОВ - ⅔ОА = βОВ - ⅓ βОА - ⅔ βОВ

⅔(ОВ – ОА)= ⅓βОВ - ⅓βОА

⅔(ОВ – ОА)=⅓β(ОВ – ОА)

⅔=⅓β, β=⅔:⅓; β=2

Т.е. АМ=βМВ

АМ=2МВ

VI. Анализ и оценка итогов работы. Выставить оценки, отметить кто как работал и подвести итоги урока. Затем провести блиц – опрос:

1.Справедливо ли утверждение:

1)любые два противоположно направленных вектора коллинеарны. (ДА).

2)любые два коллинеарные вектора соноправлены (НЕТ).

3)любые два равных вектора коллинеарны. (ДА).

4)любые два соноправленных вектора равны. (НЕТ).

5)если а↑↓в и в↑↓с, то а↑↓с (НЕТ)

VII. Определение и разъяснение дом.задания: №352, 347, п.34-38

№384(творческое задание).