Признаки делимости не только на 2, 3, 5,9

«Признаки делимости не только на 2;3;5;9.»

Введение.

При решении примеров, связанных с дробными числами, имеющими различные знаменатели, важно знать простые или составные числа нам нужно привести к общему знаменателю.

Так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, можно было бы составить их список, но это очень трудоёмкий процесс. Чтобы узнавать, каково данное число — простое или со­ ставное, не всегда нужно заглядывать в таблицу простых чисел (да и не всегда она окажется под рукой). Часто для этого доста­точно воспользоваться признаками делимости. Взглянув на число 294, всякий скажет, что оно делится на 2, а потому со­ставное. А те, кто хорошо помнит математику, скажут, что это число делится и на 3, так как на 3 делится сумма его цифр: 2+9+4=15. Если рассмотреть число 4 525, то очевидно, что оно делится на 5, так как оканчивается на цифру 5. Число 456 750 делится на 2 (оканчивается чётной цифрой), делится на 3 и на 9 (сумма цифр 4+5+6+7+5+0=27 делится и на 3 и на 9), делится на 5 (оканчивается на 0). Вследствие этого: число 456 750 делится на произведение любых из названных делителей, то есть – на 27=3



Проект: «Признаки делимости не только на 2;3;5;9»

А вот является ли число 517 простым, сказать труднее: ни на 2, ни на 3, ни на 5 оно не делится, а других признаков делимости мы не знаем. Оказывается, что есть сравнительно несложные признаки делимости на 7, 11 и на 13. Признак де­лимости на 11 самый простой. Он заключается в следующем: надо сложить все цифры числа, стоящие на нечетных местах с конца (то есть цифры разрядов единиц, сотен, десятков ты­сяч и т. д.), а потом сделать то же самое для цифр, стоящих на четных местах с конца (то есть сложить цифры разрядов де­сятков, тысяч, сотен тысяч и т. д.). Из большей суммы надо вычесть меньшую. Если разность делится на 11, то на 11 де­лится и само число. Например, для числа 517 первая сумма равна:

7 + 5 = 1 2 , а вторая состоит из одного слагаемого 1. Так как разность

12 —1= 11 делится на 11, то и число 517 де­лится на 11, а потому является составным.

Поясним, откуда берется этот признак делимости. Число 517 можно записать в виде

517 = 500 + 1 0 + 7 = 5(99 + 1) + ( 1 1 - 1 ) + 7 = = 5 99+11 + (5—1+ 7).

Но  + 11  + 11 делит­ся на 11. Значит, 517 является суммой числа, делящегося на 11, и числа, равного 5—1+ 7. Поэтому вопрос о том, делит­ся 517 на 11 или нет, сводится к этому же вопросу относительно 5—1+ 7, то есть числа 11. Так как оно делится на 11, то на 11 делится и 517.

Для делимости на 7 и на 13 нет такого удобного признака. Но можно воспользоваться тем, что  Поэтому все числа, делящиеся на 1001, делятся и на 7, и на 11, и на 13. Узнаем, например, делится ли на 7 число 859 523. Для этого запишем его в виде

 Так как уменьшаемое 859 1001 делится на 7, то остается узнать, делится ли на это число вы­читаемое 336, то есть разность 859—523.  потому делится на 7. Значит, тем же свойством обладает и заданное число 859 523. А на 13 это число не делится, так как 336 не делится на 13.

Чтобы узнать, делится ли на 7 число 85 314 507 239, надо образовать две суммы: 239+314=543 и 507+85=592. Так как 592 —543=49, а 49 на 7 делится, то и заданное число делится на 7. Ответ получен куда быстрее, чем если бы мы убедились в делимости, выполнив деление числа на 7.

Таким образом, чтобы определить делится ли число на 7 или на 13, необходимо сложить все цифры классов через один, начиная с конца, а потом сделать то же самое с цифрами классов, стоящих на чётных местах. Из полученной большей суммы надо вычесть меньшую. Если разность делится на 7 или на 13, то и само число делится на них.

Проверим, делится ли число 44 480 982 на 7 или на 13. Выполним сложение класса единиц и класса миллионов 982+44=1026. Из этой суммы вычтем класс тысяч 1026- 480=546, 546 : 7= 78, 546:13=42. Так как 546 делится на 7 и на 13, то и 44 480 982 делится и на 7 и на 13.

Похожие правила проверки на делимость есть и для других простых чисел. Но они более сложные, чем те, о которых было рассказано. Свои правила проверки на делимость есть и в дру­гих системах счисления.

В школьном учебнике для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел рекомендуется сначала разложить эти числа на простые множители. Этот совет хорош, если числа невелики. Гораздо сложнее найти таким методом наибольший общий делитель чисел 437 и 713. Ведь совсем не видно, как их разложить на множители. Древние греки придумали заме­чательный способ, позволяющий искать наибольшие общие делители без разложения на множители.

Возьмем два числа 18 и 30, наибольший общий делитель которых виден сразу — он равен 6. Заменим в паре (18; 30) большее число 30 разностью 30—18, то есть числом 12. Мы получим пару чисел (18; 12). Она имеет тот же наибольший общий делитель 6, что и пара (18; 30). Повторим эту операцию и заменим пару (18; 12) на (6; 12) (то есть заменим 18 на раз­ность 18—12). Следующий шаг дает нам пару (6; 6). Поскольку оба числа в ней одинаковы, то наибольший общий делитель для нее равен 6.

На этом примере видно, что если пару натуральных чисел (а; Ь), где а, заменить парой чисел (а; Ь—а), то наибольший общий делитель не изменяется. Повторяя такие замены много раз, мы будем все уменьшать и уменьшать наши числа, пока не дойдем до пары (d; d), состоящей из двух одинаковых чисел. Число d и будет наибольшим общим делителем для а и b. Последовательное вычитание из большего меньшего числа можно заменить делением большего на меньшее число и заменой большего числа на остаток от этого деления.