Приёмы рационального счёта

ПРИЁМЫ РАЦИОНАЛЬНОГО СЧЁТА

Проект готовили учащиеся 6-в класса

Акимов Сергей , Беляева Анна, Бобкова Алиса, Бойченко Владимир, Бровкин Владислав, Васильев Василий, Голова Елизавета, Казарян Артур, Казарян Жора, Казарян Каринэ, Калюта Артем, Кеслер Дмитрий, Крячко Мария, Липин Роман, Паутов Андрей, Попова Мария, Саргсян Кристина, Сухов Семен, Черепанова Елизавета, Черных Светлана, Шкарупа Карина

Руководитель проекта –учитель математики Торопкин Виктор Иванович .

Как люди научились считать?

• Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.
• Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили «один», а если их было больше – «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.
• Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки) привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».
• Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трёх, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперёд.
• Для счёта люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах двадцати.
• Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счёта.

Изменение счёта при появлении цивилизации

• По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем.
• При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.
• Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.
• Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления, особенно последнее. «Умноженье – мое мученье, а с деленьем – беда» – говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приёма для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приёмы один другого запутаннее, твёрдо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счётного дела держался своего излюбленного приёма, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

Что дают нам приёмы рационального счёта?

• В наше время существует мнение, что человеку не надо знать приемы быстрых вычислений, что для этого существуют компьютеры. Однако польза устных вычислений огромна.
• 1) Применяя законы арифметических действий к устным вычислениям, можно повторить, закрепить, усвоить их не механически, а сознательно.
• 2) При устных вычислениях развиваются внимание, сосредоточенность, смекалка, самостоятельность.
• 3) Устный счет содействует тренировке памяти.
• 4) В то время как письменные вычисления однообразны и шаблонны, в устных вычислениях нет готового шаблона и приемы вычислений разнообразны, что способствует развитию чрезвычайно полезных качеств человека.

Умножение на пальцах

Этот метод часто называют бабушкиным методом. Стоит сразу сказать, что это худший из предложенных способов изучения умножения – он ведет к тупиковому результату, и приведенная ниже методика рекомендуется скорее для ознакомления, чем для практического применения.

• Приём устного счёта умножения на 9 с помощью пальцев .

Снова поверните кисти ладонями к себе, но теперь нумерация пальцев будет идти по порядку с лева на право, то есть от 1 до 10. Теперь умножаем, например, 2х9. Все то, что идет до пальца №2 — это десятки (то есть 1 в этом случае). А все то, что остается после пальца №2 — единицы (то есть 8). В итоге получаем 18.

Люди, которые быстро считали.

• Хотите узнать, кто были самыми быстрыми людьми на планете по устному счёту? Люди, способные без калькулятора совершать сложные арифметические действия ,обладают уникальными особенностями памяти , отличяюших их от других людей. Эти люди запоминают огромное количество информации. 1.Даниэл Мак Картни( жил в 19 веке ,США, Огайо),который с рождения был слепым. Он не только моментально умножал и складывал громадные числа,он также обладал идеальной памятью, и мог рассказать о любом дне своей жизни , начиная с 9 лет. За десять минут он смог возвести число 89 в шестую степень. За три минуты он смог найти кубический корень из 4741632. 2.Альберто Кото Гарсия (Испания)-известный арифметик счётчик .Его мозг способен выполнять до 5-6 операций за секунду

Приборы для счета

• Русские счёты

Счёты представляют собой раму, имеющую некоторое количество спиц; на них нанизаны костяшки, которых обычно по 10 штук. Счёты являются одним из ранних вычислительных устройств и вплоть до конца ХХ века массово использовались в торговле и бухгалтерском деле, пока их не заменили калькуляторы.

Валентин Берестов ( 1928-1998)

• Ну-ка в сторону карандаши!
• Ни костяшек .Ни ручек . Ни мела.
• Устный счёт! Мы творим это дело
• Только силой ума и души.
• Числа сходятся где-то во тьме,
• И глаза начинают светиться,
• И кругом только умные лица,
• Потому что считаем в уме.

1.Использование законов (переместительного , сочетательного и распределительного )

• А) непосредственном применении свойств операций:
• 17 + 28 + 43 = ( 17 + 43 ) + 28=88
•   35 – 14 – 15 = ( 35 – 15) – 14=6
•   Б) применение свойств действий с предварительным преобразованием хотя бы одного из компонентов:
• 43 + 19 = 43 + ( 7 + 12)=62
• 93 – 54 = 93 – 53 – 1=39
• 12∙8=(10+2)∙8=80+16=96
• В)Округление ( очень эффективный и часто используемый прием. Этот прием можно использовать во всех четырех арифметических действиях).
• 399+473= (400+ 473) – 1= 872

1.Использование законов (переместительного , сочетательного и распределительного )

1.      Умножение чисел, оканчивающихся нулями.

          40·7 = (4·7)·10                                         8·60 = (8·6)·10

          400·7 = (4·7)·100                                      4·600 = (4·6)·100

          1200·50·=(12·5)·1000                                120·70 = (12·7)·100

  2. Умножение любого числа на двузначное путем разложения множителя на десятки    и единицы.

    46·12 = 46·10 + 46·2

      243·31 = 234·30 + 243·1

  3.      Перестановка  сомножителей.

            2·93·5 = 2·5·93 = 10·93

             4·17·25 = 17·4·25 = 17·100

                125·201·8 = 201·125·8 = 201·1000

Умножение на 11

• 3765 х 11 = 41415
•   а) пишем 5
•                                         б) 5 + 6 = 11, пишем 1, запоминаем 1
•                                         в)  7 + 6 =13, 13 + 1 = 14, пишем 4, запоминаем 1
•                                         г) 3 + 7 = 10, 10 + 1 = 11, пишем 1, запоминаем 1
•                                           д) 3 + 1 = 4, пишем 4.

Сложение столбцами

• Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.
• Пример 1 .   358         Пример 2.             597
•                   + 439                               +    1289
•                       746                                     6732
•                       932                                   95895
•                   --------                              ----------
•                         25                                        23
•                 +   15                               +        29
•                     23                                       22
•                 ---------                                 12
•                   2475                                 9
•                                                         ------------
•                                                           104513

Легко запомнить!

• Легко запомнить!
• 11х11=121 111х111=12321 1111х1111=1234321 ……………………… 111111111х111111111=12345678987654321

Умножение на числа вида  аа  .

• Умножить данное число сначала на а, а потом на 11
• Пример 1.
• 123 х 55 = ( 123 х 5 ) х 11= 615 х 11 =6(6 +1)(1+5)5  = 6765
• Пример 2. 37 х 77 = (37 х 7) х 11 = 259 х11 =
• = 2(2 + 5 + 1)(5 + 9 =14 )9  = 2849.

Можно ли научиться быстро считать? Есть ли разработанная система счёта ,или это природные способности ?

• Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счёта создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом.  Она известна под названием «Система быстрого счёта». История ее создания необычная. Профессор Трахтенберг был человеком замечательным и многогранно одаренным. Родился он в Одессе в 1888 г. По образованию— инженер (окончив с отличием Петербургский горный институт, он был главным инженером Обуховского судостроительного завода). Убежденный пацифист, Трахтенберг отдавал много сил пропаганде своих взглядов и в России, и в Германии, где он жил с 1919 г., а затем в Австрии, куда он бежал после прихода к власти Гитлера. После присоединения Австрии к Германии для Трахтенберга наступил семилетний период пребывания в тюрьмах и лагерях. Он был арестован фашистами и заключен в концентрационный лагерь. С помощью жены ему удалось бежать в Югославию. Но гестаповцы вскоре настигли его и там. Находясь в страшных, нечеловеческих условиях , Трахтенберг, стремясь сохранить здоровый дух и психику, всецело ушел в замкнутый мир чисел. «Система быстрого счета» — плод его размышлений за эти страшные годы. Когда в 1944 г. стало известно о его предстоящей казни, его верный друг — жена сумела еще раз спасти его. Она добилась перевода мужа в Лейпциг и там снова организовала побег. И хотя вскоре он был снова арестован и отправлен на каменоломню в Триест, самое тяжелое осталось позади. Последний побег-и супруги Трахтенберг в Швейцарии. В конце 40-х годов Трахтенберг организовал свой Математический институт- единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, и по единодушному признанию успехи были поразительны.
• Также разработкой приёмов быстрого счёта занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.

Русский способ умножения, или способ изменения сомножителей

• Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не измениться.
• Примеры: 43 ∙ 16 = 86∙ 8 = 172∙ 4 = 344∙ 2 = 688 ∙ 1 = =688
• 23 ∙ 27 = 69 ∙ 9 = 207 ∙ 3 = 621 ∙ 1 = 621
• 125 ∙ 24 = 500 ∙ 6 = 1500 ∙ 2 = 3000 ∙ 1 = 3000

Умножение на 5, 25, 125-это применение русского способа умножения

• Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и приписать к результату 0, 00, 000.
• Пример 1.
• 48 Х 5 = 48 : 2 х10 = 240.
• Пример 2.
• 56 х 25 =  56 : 4 х 100 = 1400
• Пример 3.
• 32 х 125 = 32 : 8 х 1000 = 40000

Легко запомнить

• 37х3=111
• 37х6=(37х3)х2=222
• 37х9=(37х3)х3=333
• 37х12=(37х3)х4=444
• 37х15=(37х3)х5=555 и т.д.

Особые приемы умножения.

• Чтобы применять особые приемы умножения, необходимо уметь всякое целое число быстро устно умножить  и  делить на 2 и 3, а также уметь быстро устно складывать и вычитать числа в пределах сотни.
• Умножение на 4  может быть сведено к двукратному последовательному умножению данного числа на 2.
• 48·4 = 48·2·2                                                  
• 157·4 = 157·2·2
• Умножение на 6
• При умножении на 6 можно применять два способа:
• 1)      Последовательное умножение
•          52 · 6 = 52·2·3 = 104·3 = 312
• 2)      Представление 6 в виде суммы 5 и 1
•    52 · 6 = 52 · (5+1) = 312

Особые приемы умножения.

• Умножение на 7
•    52 · 7 = 52 · (5+2) = 260 + 104 = 364
• Умножение на 9
•    52 · 9 = 52 · (10-1) = 520 - 52 = 468
• Умножение на 11
•    52 · 11 = 52 · (10+1) = 520 + 52 = 572

Умножение на 10, 100,1000,10000 и т.д.

• При умножении на 10, 100,1000,10000 и т.д. ,запятая переносится соответственно на 1,2,3,4и т.д. вправо
• 15х10=150
• 132х100=13200
• 14,5678х1000=14567,8

Умножении на 0,1 ; 0,01 ; 0,001; 0,0001 и т.д .

• При умножении на 0,1 ; 0,01 ; 0,001; 0,0001 и т.д. ,запятая переносится соответственно на 1,2,3,4и т.д. влево
• 16х0,1=1,6
• 17х0,01=0,17
• 3,5678х0,0001=0,00035678

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт» была написана в 1895 г., то есть более 110 лет назад.

• Посмотрите, как сосредоточенно думает мальчик, изображенный на переднем плане. Видно, нелегкую задачу дал учитель. Но этот ученик, наверно, скоро закончит работу, ошибки не должно быть: уж очень серьезно относится он к устному счету. А тот, который что–то шепчет на ухо учителю, кажется, уже решил задачу, только его ответ не совсем правильный. Смотрите: учитель слушает ученика внимательно, но на лице нет одобрения, значит, ученик сделал что–то не так. А может, учитель терпеливо ожидает, когда и другие сосчитают, и потому не спешит одобрить ответ?
• А какую же задачу дал им учитель? Не сможем решить ее и мы?

Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. Учитель – Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 г. С. А. Рачинский решает «уйти в народ». Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач. Эта картина - гимн учителю и ученику!

• Все рассмотренные нами методы рационального счета говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.
• Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

• Спасибо всем за проделанную работу, и за ваше внимание .