Презентация на тему: "Теорема Виета"

Тема Урока: «Теорема Виета»

Подготовил: учитель математики

Новопанского филиала МОУ «МСОШ № 3»

Соколова Юлия Викторовна

Франсуа Виет (1540—1603) — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x 2  +  px  +  q  = 0

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x 1  +  x 2  = - p ,    x 1  ·  x 2  =  q

Доказательство:

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

x 2  +  px  +  q  = 0

то его корни равны:

где  D  =  p 2  - 4 q . 

Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

x 1  +  x 2  = - p

x 1  ·  x 2  =  q

называются   формулами Виета .

Теорема Виета применима к квадратным уравнениям только в том случае, если оно имеет два корня, поэтому, если дискриминант равен нулю, то принято считать, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня. Таким образом, теорема Виета становится верна для любого квадратного уравнения, имеющего корни.

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример:

Найти корни уравнения:

x 2  - 3 x  + 2 = 0

Решение:  

так как

x 1  +  x 2  = -(-3) = 3

x 1  ·  x 2  = 2

очевидно, что корни равны 1 и 2:

1 + 2 = 3

1 · 2 = 2

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1 2  - 3 · 1 + 2 = 0

• и

2 2  - 3 · 2 + 2 = 0

Ответ: 1, 2.

Спасибо за внимание!