Презентация Математическая статистика

Курс: 2

Дисциплина: «Математика»

Подготовила: преподаватель высшей категории Бирюкова Людмила Николаевна

Ставрополь 2018 год

Термин статистика происходит от латинского слова «status».

В Средние века это означало политическое состояние государства.

В науку этот термин ввёл немецкий учёный Годфрид Ахенваль.

Зарождение статистики, как науки, следует отнести ко второй половине XVΙΙ века.

В настоящее время термин «Статистика» употребляется в четырёх значениях:

1. Комплекс дисциплин , обладающих определённой спецификой и изучающих количественную сторону массовых явлений и процессов в их неразрывной связи с их качественным содержанием – учебный предмет в ВУЗ-ах и СУЗ-ах;

2 . Отрасль практической деятельности по сбору, обработке, анализу и публикации массовых цифровых данных о самых различных явлениях и процессах общественной жизни;

3 . Совокупность цифровых сведений , характеризующих состояние массовых явлений и процессов общественной жизни;

4. Статистические методы , применяемые для изучения социально-экономических явлений и процессов.

Статистика как наука имеет свой предмет исследования. Она исследует не отдельные факты, а массовые социально-экономические явления и процессы, выступающие как множество отдельных факторов, обладающих как индивидуальными, так и общими признаками.

Статистические данные – это сведения о числе объектов какого - либо множества, обладающих некоторым признаком.

Пример.

Сведения о количестве отличников в каждом учебном заведении;

сведения о числе разводов на число вступивших в брак;

сведения о количестве новорожденных и др.

На основании статистических данных можно делать научно – обоснованные выводы. Для этого статистические данные определенным образом должны быть систематизированы и обработаны.

Математическая статистика изучает математические методы систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и производственных нужд.

Основной метод обработки данных – выборочный

Явления и процессы в жизни общества изучаются статистикой посредством статистических показателей , представляющих собой обобщённую числовую характеристику какого-либо явления в единстве с качественной стороной в условиях конкретного места и времени.

Различают следующие статистические показатели:

учётно-оценочные ,  которые в зависимости от специфики изучаемого явления могут отображать или объёмы их распространенности в пространстве или достигнутые на определённые моменты (даты) уровни развития. (Например: численность населения в России на начало 2002 года составила 146,3 млн. чел.);

аналитические показатели , применяются для анализа статистической информации и характеризуют особенности развития изучаемого явления: типичность признака, соотношение его отдельных частей, меру распространения в пространстве, скорость развития во времени и т.д. В качестве аналитических показателей в статистике применяются относительные и средние величины, показатели вариации и динамики, тесноты связи и др.

Различают следующие статистические показатели:

Одной из важных категорий статистической науки, тесно связанной с показателями, является понятие  признака,  под которым понимается характерное свойство изучаемого явления, отличающее его от других явлений.

Признаки бывают:

атрибутивные , выраженные смысловыми понятиями (пол – мужской, женский; магазин – продовольственный, промтоварный, хозяйственный);

количественные – признаки, выраженные числовыми значениями (возраст человека, стаж работы, размер заработной платы и т.д.);

варьирующие , принимающие различные значения у отдельных единиц изучаемого явления (товарооборот, валовой сбор и т.д.).

Статистика рассматривает статистические совокупности.

Статистическая совокупность представляет собой множество единиц изучаемого явления, объединённых в соответствии с задачей исследования единой качественной стороной, т. е.

признаками

Целью изучения статистических совокупностей является выявление закономерностей.

Закономерность  – это то общее что определяет единство и однородность совокупности.

Сплошное Выборочное

Исследуется отобранные некотор ым образом объекты

Исследуется каждый объект совокупности

Генеральная совокупность – совокупность всех исследуемых объектов

Выборочная совокупность (выборка) – совокупность случайно отобранных объектов

Случайный отбор – это такой отбор, при котором все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку

повторная бесповторная

Объект извлекается из генеральной совокупности, исследуется и возвращается в генеральную совокупность, берется следующий, исследуется и возвращается и т.д.

Объект извлекается из и не возвращается, берется генеральной совокупности, исследуется следующий

Объём выборки – это число равное количеству объектов генеральной или выборочной совокупности.

Пример.

Из 10000 изделий для контроля отобрали 100 изделий.

Объем генеральной совокупности равен 10000, объем выборки – 100.

Математическая статистика занимается вопросом : можно ли установив свойство выборки , считать, что оно присуще всей генеральной совокупности.Для этого выборка должна быть достаточно представительной , т.е. достаточно полно отража ть изучаемое свойство объектов.

Поэтому отбор объектов в выборку осуществляется случайно , а изучаемому свойству должна быть присуща статистическая устойчивость : при многократном повторении исследования наблюдаемые события повторяются достаточно часто (статистическая устойчивость частот)

Для статистической обработки результаты исследования объектов, составляющих выборку, представляют в виде числовой выборки (последовательности чисел или числового ряда)

Показатели описательной статистики можно разбить на несколько

групп:

- показатели положения, описывающие положение экспериментальных

данных на числовой оси. Примеры таких данных – максимальный и минимальный элементы выборки , среднее значение , медиана , мода и др.;

• показатели разброса, описывающие степень разброса данных относительно центральной тенденции. К ним относятся: выборочная дисперсия, разность между минимальным и максимальным элементами ( размах, интервал выборки ) и др.;

• показатели асимметрии: положение медианы относительно среднего и др.;

- графические представления результатов – гистограмма, частотная диаграмма и др.

Разность между наибольшим значением числовой выборки и наименьшим называется размахом выборки

Рассмотрим числовую выборку объема n , полученную при исследовании некоторой генеральной совокупности

Значение x 1 встречается в выборке n 1 раз

x 2 встречается n 2 раза

…… .

x n встречается n n раз

Числа называются частотами значений

Отношения частот к объему выборки

называются относительными частотами значений

Если составлена таблица в первой строке значения выборки, а во второй частоты значений, то она задает статистический ряд , если второй строке относительные частоты значений, то такая таблица задает выборочное распределение

x 1

n 1

x 2

n 2

x 3

n 3

…

…

x n

n n

x 1

n 1 /n

x 2

n 2 /n

x 3

n 3 /n

…

…

x n

n n /n

Пример.

Для выборки определить объем, размах, найти статистический ряд и выборочное распределение:

3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5

Объем: n = 10, размах = 8 – (-1) =9

Статистический ряд:

Выборочное распределение:

x i

n i

-1

0

2

3

1

5

4

2

8

1

x i

-1

0

0,2

3

0,1

5

0,4

0,2

8

0,1

(убеждаемся 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1)

Мода ( m o ) — это наиболее частое значение в выборке, или среднее значение класса с наибольшей частотой. Мода как центральная тенденция используется чаще всего для того, чтобы дать общее представление о распределении. В некоторых случаях у распределения могут быть две моды, в таком случае это свидетельствует о бимодальном распределении, что указывает на наличие двух относительно самостоятельных групп.

Медиана ( m e ) соответствует центральному значению в последовательном ряду всех полученных значений выстроенном в порядке возрастания. Если же в ряду чётное количество показателей , то берут среднее арифметическое двух средних значений

Среднее арифметическое ( m ) — это показатель центральной тенденции, полученный делением суммы всех значений данных на число

этих данных. Среднее

арифметическое используется для

представления количественных

переменных с нормальным

распределением.

Указание в представлении данных

меры центральной тенденции

(среднее, медиана, мода)

автоматически сообщает

о нормальности распределения

признака .

При нормальном распределении все три показателя

более или менее совпадают , а при асимметричном распределении — нет .

Если выборка задана значениями и их частотами или статистическим рядом, то строится полигон

Полигон частот Полигон относительных частот

Это ломаная с вершинами в точках

Это ломаная с вершинами в т очках

При большом объеме выборки строится гистограмма

Гистограмма частот гистограмма относительных частот

Для построения гистограммы промежуток от наименьшего значения выборки до наибольшего разбивают на несколько частичных промежутков длины h

Для каждого частичного промежутка подсчитывают сумму частот значений выборки, попавших в этот промежуток ( S i ) .

Значение выборки, совпавшее с правым концом частичного промежутка (кроме последнего промежутка), относится к следующему промежутку

Затем на каждом промежутке, как на основании, строим прямоугольник с высотой

Ступенчатая фигура, состоящая из таких прямоугольников, называется гистограммой частот .

Площадь такой фигуры равна объёму выборки .

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых являются частичные промежутки длины h , а высотой отрезки длиной

где  i – сумма относительных частот значений выборки , попавших в i промежуток

Площадь такой фигуры равна 1

Пример.

В результате измерения напряжения в электросети получена выборка. Построить гистограмму частот, если число частичных промежутков равно 5

218, 224, 222, 223, 221, 220, 227, 216, 215, 220, 218, 224, 225, 219, 220, 227, 225, 221, 223, 220, 217, 219, 230, 222

n = 24

Наибольшее значение – 230

Наименьшее значение – 215

Интервал: 230 – 215 = 15

Длина частичных промежутков:

Составим таблицу:

№

интервал

1

2

[215; 218)

[218; 221)

3

3

[221; 224)

4

8

6

[224; 227)

5

4

[227; 230]

3

Для выборки объема n

Выборочное статистическое ожидание (выборочное среднее) – это среднее арифметическое значений выборки

Если выборка задана статистическим рядом, то

Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего

Если выборка задана статистическим рядом, то

Несмещенная выборочная дисперсия

Пример.

Для выборки найти

Выборка: 4, 5, 3, 2, 1, 2, 0, 7, 7, 3

n = 10