Получите свидетельство
Вход
Предел последовательности
Преподаватель ГБПОУ СО «Свердловский областной педагогический колледж» Перминова Е.В
а) 1, 2, 3,…, n ,….
б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…,
в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n ,…
Любое число в совокупности имеет номер
в соответствии с тем местом , которое оно
занимает и от него зависит .
Пример: n=12
а) a 12 =12
б) b 12 =-1/12
в) c 12 =sin 12
ОПР. Совокупность чисел , каждое
из которых имеет свой номер n є N
и от него зависит, называется
числовой последовательностью .
X n ={X 1 ,X 2 ,…,X n }
a n ={a 1 ,a 2 ,…,a n }
Задать числовую последовательность, значит указать как отыскивается любой ее член, если известен номер занимаемого им места.
- Описание
( x n )-последовательность приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001…
√ 2=1,1421356…
(X n )={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}
2. Формула n-го члена.
Формула, позволяющая найти любой член последовательности по его номеру
Назовите первые 5 членов последовательности ( X n )= n ²
Понятие сходящейся последовательности
Обратим внимание, что члены последовательности ( х n ) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности ( у n ) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность ( х n ) сходится, а последовательность ( у n ) расходится.
Рассмотрим две числовые последовательности ( у n ) и ( х n ) и изобразим их члены точками на координатной прямой.
( у n ): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2 n – 1,…;
( х n ):
у
9
11
5
0
7
3
1
13
х
0
1
Понятие сходящейся последовательности
( х n ): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,..
Точка сгущения – 0
Последовательность
сходится
( у n ): 1, 3, 5, 7,…,(2 n -1),...
Нет точки сгущения
Последовательность
расходится
Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.
Окрестность точки
Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал (а - r; a + r) называют окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности.
Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4 , радиус равен 0,03.
х
a
a-r
a+r
В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности».
Определение 2. Число b называют пределом последовательности (у n ) , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Обозначение: 1. ( у n стремится к b или у n сходится к b );
2. (предел последовательности у n при стремлении n
к бесконечности равен b )
Предел последовательности
1, то lim q n не существует. n →∞ 3) lim С = С n →∞ 4) lim ( к /n m ) = 0 n →∞ " width="640"
Формулы
1) lim 1/ n = 0
n →∞
2) lim q n = 0, если 0 q |
n →∞
Если q 1, то lim q n не существует.
n →∞
3) lim С = С
n →∞
4) lim ( к /n m ) = 0
n →∞
Предел последовательности
Построим графики последовательностей:
Рис. 1
у = 0
Рис. 2
у = 0
у = 2
Рис. 3
Асимптоты графика
Обратите внимание, что на всех трех
рисунках точки графика, по мере их ухода
вправо, все ближе и ближе подходят к
некоторой горизонтальной прямой:
- на рис 1 – к прямой у = 0,
- на рис 2 – к прямой у = 0,
- на рис 3 – к прямой у = 2.
Каждую из этих прямых называют
горизонтальной асимптотой графика.
Асимптоты графика
Вообще равенство
означает, что прямая у = а
является горизонтальной асимптотой
графика последовательности,
т.е. графика функции
у = b
Свойства
● Если последовательность сходится,
то только к одному пределу.
● Если последовательность сходится ,
то она ограничена.
Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…−
ограниченная последовательность,
но она не сходится
● Теорема Вейерштрасса
Если последовательность монотонна
и ограничена, то она сходится .
- Карл Теодор
Вейерштрасс-
выдающийся немецкий
математик, отец
«современного анализа»
- 1815-1897 г.
- Кратер на Луне
Свойства вычисления пределов
Если lim х n = b и lim у n = c , то
n→∞ n →∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim ( х n + у n ) = lim х n + lim у n = b + c
n →∞ n→∞ n →∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim ( х n · у n ) = lim х n ∙ lim у n = b · c
n →∞ n→∞ n →∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim ( х n : у n ) = lim х n : lim у n = b : c
n →∞ n→∞ n →∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim ( k · х n ) = k · lim х n = k ∙ b
n →∞ n→∞
14
Примеры вычисления пределов
Пример 1. Вычислить
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x , т.е. на x 3 .
Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x т.е. на x 4 .
Примеры вычисления пределов
Пример 3. Вычислить
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x , т.е. на x 6 .
(не существует)
Правила вычисления пределов
1. Если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной .
14
Правила вычисления пределов
2. Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю .
14
Правила вычисления пределов
3. Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует.
14
Вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности:
1.
2.
3.
4.
Методика вычисления пределов в точке
Если функция существует в точке x = a, то ее предел равен f(a).
Пример 1. Вычислить
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3 ) и применим правила вычисления пределов.
Примеры вычисления пределов
Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
Решение.
Пример 3. Вычислить
Решение.
Методика вычисления пределов в точке
Если же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке.
1.
2.
3.
Примеры вычисления пределов
Пример 1. Вычислить
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2 ) и применим правила вычисления пределов.
Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2 ) и применим правила вычисления пределов.
Примеры вычисления пределов
Пример 3. Вычислить
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3 ) и применим правила вычисления пределов.
Методика вычисления пределов в точке
Если и в знаменателе и в числителе нули, то, говорят, имеем неопределенность вида .
Методика раскрытия таких неопределенностей проста. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции при х = а, то разложение на множители и числителя и знаменателя обязательно содержат сомножитель (х – а), на который дробь будет сокращена. Покажем на примере.
выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида
Примеры вычисления пределов
Пример 1. Вычислить
Решение. Выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители
выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида
Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители
Примеры вычисления пределов
Активно используйте формулы сокращенного умножения
Пример 3. Вычислить
Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , воспользуемся формулами сокращенного умножения
,
Следующие пределы вычислите самостоятельно
1. 2.
- 4.
- 6.
7. 8.
Ответы
1. 2.
- 4.
- 6.
7. 8.
Предел последовательности. Свойства и правила (3.5 MB)
0
2113
54
Нравится
0
