Презентация по математике "Построение графиков линейной функции, содержащие несколько модулей"

Материал урока поможет овладеть алгоритмом (метод интервалов) для раскрытия нескольких модулей и построения графиков функций и подготовкой учащихся к восприятию теоретического и практического умения решать уравнения и неравенства,содержащих несколько модулей.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А ты, что делал целый день?» и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма».

Цели и задачи урока:

показать рациональные методы построения графиков линейной функции, содержащих несколько модулей;

применение графиков при решении более сложных задач.

оn line урок

по математике

Учитель: Косова Галина Павловна

Девиз урока:

Не боги горшки обжигают.

Математика не так сложна, как ею пугают.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А ты, что делал целый день?» и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма».

Тема: « Графики линейных функций, содержащие модули и их применение »

Цели и задачи урока:

.

• показать рациональные методы построения графиков линейной функции, содержащих несколько модулей;

• применение графиков при решении более сложных задач.

.

Что такое модуль?

Модуль- это расстояние от данной точки до начала отсчёта.

Т. есть, в общем виде, имеем:

Например:

0

-5

5

Как построить график функции

?

Верно!

Исходя из определения модуля, или по другому - абсолютной величины, имеем:

• на положительной области определения графиком является биссектриса I координатного угла,
• на отрицательной области определения- биссектриса II координатного угла.

График функции

Из определения следуют три главных свойства ( другие свойства рассмотрим на следующем уроке)

Как построить график ?

При раскрытии модуля по определению характерной ошибкой учащихся, плохо понимающих суть абсолютной величины, является следующая логика в преобразовании, например, выражения

Это, конечно, неверно!

Верно:

Для построения графика, правее -3, возьмём две точки: (-3;0), (-2;1). Для построения графика, левее -3, возьмём две точки: (-3;0), (-4;1). При построении прямых обязательно берём точки, являющиеся концами соответствующих промежутков, т.к это намного удобнее.

График функции

от графика

Чем отличается график

?

Верно, они совершенно одинаковые, но во втором случае произошло перемещение вдоль оси Х на 3 единицы влево.

А как будет выглядеть график

?

График функции:

0 необходимо передвинуть график вдоль оси абсцисс вправо на а единиц. При построении графика , где a0 необходимо передвинуть график вдоль оси абсцисс влево на а единиц . " width="640"

• Значит, для того, чтобы

построить , при a0 необходимо передвинуть график вдоль оси абсцисс вправо на а единиц. При построении графика , где a0 необходимо передвинуть график

вдоль оси абсцисс влево на а единиц .

А как построить график функции , или

?

(0;3); (1;4)

(-2;5); (-1;4)

График функции:

График функции:

(0;-3); (1;-2)

(-1;-2); (-2;-1)

0, необходимо график функции передвинуть вдоль оси у на а единиц вверх. При построении , при а 0, необходимо график функции передвинуть вдоль оси у на а единиц вниз. " width="640"

Для того чтобы построить график функции , при а0, необходимо график функции передвинуть вдоль оси у на а единиц вверх. При построении , при а 0, необходимо график функции передвинуть вдоль оси у на а единиц вниз.

А как поступить при построении графика такой функции, как

?

?

Суть этого метода заключается в том, что если у всех подмодульных выражений найти нули , то между этими нулевыми точками выражения будут знакопостоянны. Это, в свою очередь, даст возможность на каждом из образованных промежутков раскрыть модули и переписать исходную функцию уже в обычной форме.

Поэтому алгоритм построения графика методом интервалов ( промежутков) выглядит следующим образом:

• На числовой прямой отметить все нули подмодульных выражений.
• Определить знак каждого из этих выражений на каждом интервале.
• Раскрыть модули на каждом из промежутков и упростить функцию.
• Построить график функции на каждом промежутке.

,

Для построения графика функции

Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль:

,

1

-2

Знак:

+

+

2+x

-

+

-

x-1

-

Y=2+x-(-(x-1))=

=2+x+x-1=2x+1

Y=-(2+x)-(-(x-1))=

Y=2+x-(x-1)=

=-2-x+x-1=-3

=2+x-x+1=3

Попробуйте построить график функции:

Решение:

Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль:

,

На каждом из полученных промежутков выражения под модулем имеют один знак:

2

-3

знаки

+

X+3

-

+

-

-

+

Х-2

Y=x+3-(x-2)=

Y=(x+3)+(x-2)=

x+3-x+2=5

X+3+x-2=2

Y=-(x+3)-(x-2)=-2x-1

График функции

А теперь постараемся построить график более сложной функции:

,

,

,

“ нули”выражений, стоящих под знаком модуля: х-1=0; х-2=0; х-3=0

,

,

,

,

Получим на числовой прямой четыре интервала, раскроем знак модуля на каждом из полученных интервалов и определим вид линейной функции на каждом интервале.

3

1

2

Знаки:

+

X-2

-

+

-

+

-

X-1

+

+

+

-

X-3

-

-

y=x-1-2x+4-x+3=- =-4x+12

Y=-(x-1)+2(x-2)-3(x-3)

y=x-1-2x+4+3x-9=2x-6

+(x-1)+2(x-2)-3(x-3)=

=

4

=x-1+2x-4-3x+9=

-x+1+2x-4-3x+9=

=-2x+6

И вот что получилось в результате построения всех функций на каждом интервале

А теперь начнём усложнять задания:

Найти наименьшее значение функции:

+

Такая задача решается графически. Строим график данной функции. Разбиваем числовую прямую на промежутки точками -5; -3; 0;и 3.

-3

3

-5

0

Знаки:

-

-

-

-

+

X-3

-

+

-

+

-

x

+

-

+

-

+

X+3

+

+

+

+

X+5

-

y=-x+3+x+x+3+x+5

y=-x+3-x+x+3+x+5

y=x-3+x+x+3+x+5

=11

y=-x+3-x-x-3-x-5=-

=-4x-5

y=-x+3-x-x-3+x+5=-2x+5

=2x+1

По графику видно, что наименьшее значение значение этой функции равно 11. Ответ: 11.

А теперь попробуем ещё немного усложнить задачу:

Определите число решений уравнения

в зависимости от параметра а.

Такая задача решается графически. Строим график функции

Решения уравнения

-это абсциссы точек пересечения графика с горизонтальной прямой y=a . Мы должны мысленно двигать горизонтальную прямую y=a вдоль оси ординат и считать количество точек пересечения.

4 два решения . Y=6 y-=4 Y=2 Y=-2 " width="640"

Ответ: при а

два решения, при а=4 бесконечное множество решений, т.е. множество точек отрезка ED и ещё точка М, при а4 два решения .

Y=6

y-=4

Y=2

Y=-2

При каких а уравнение

Имеет единственное решение?

Задачу опять можно решить графическим способом. Для этого необходимо построить график

Мы должны мысленно двигать горизонтальную прямую y=a,и считать количество точек пересечения.

Для построения графика

Отметим на числовой прямой нули выражений, стоящие под знаком модуля точки:-1; 2; 6

-1

6

2

Знаки:

+

X+1

-

+

+

+

-

+

X-2

-

-

-

-

+

X-6

y=2(x+1)+2(x-2)+x-6)-x=

y=2(x+1)+2(x-2-(x-6)-x=

=2x+2+2x-4-x+6-x=

=2x+4

y=2(x+1)-2(x-2)+9x-6)-x=

=2x+2-2x+4-x+6-x=-2x+12

y=2x+2-2x+4+x-6-x=0

=-2x-2+2x-4-x+6-x=

=-2x

Уравнение

Y=8

Y=2

имеет единственное решение, т.е. единственную точку пересечения графиков

при:

Попробуйте самостоятельно выполнить следующие задания Постройте графики следующих функций а) б) в) 2) Найти наименьшее значение функции . Ответ : 2. 3) Определить в зависимости от параметра а число корней уравнения

Закрепление новых знаний

Теоретические факты, которые мы разобрали на этом уроке вы найдёте на сайте:

http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=95

Рефлексия

Используя методику «Я, мы, дело», охарактеризуйте качество проделанной на уроке работы, оцените степень удовлетворенности уроком.

Через неделю жду опять всех, кто заинтересовался этим универсальным методом, который мы будем применять для решения уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей

Урок окончен. Спасибо за урок!