Презентация по математике "Подобие фигур"

Презентация начинается с учебной ситуации - практико-ориентированной задачи, которая встречается в ГИА по математике в разделе "Реальная математика".  

на втором слайде располагаются разделы темы "Подобие фигур": преобразование подобия, подобные фигуры и ихи свойства, признак подобия треугольников по двум углам, по двум сторонам и углу между ними и трем сторонам, подобие прямоугольных треугольников. построение каждого раздела произведено по одной структуре:

1. Название раздела.

2. Формулировка признака, теоремы или понятия.

3. Графическая иллюстрация этого признака, теоремы или понятия.

4. разноуровневые задачи на применение признака, теоремы и т.д.

5. Задание для самопроверки.

Данная структура позволяет применить данную презентацию на разных этапах урока и на уроках рахного типа: изучения нового материала, закрепления или повтроения или систематизации.

Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменится в одно и то же число раз

Свойство 1:

Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки;

Свойство 2:

Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Подобие фигур

Пример из жизни

• На рисунке изображен колодец «журавль». Короткое плечо имеет длину 2 метра, а длинное плечо – 4 метра. На сколько метров опустится ведро, когда конец короткого плеча поднимется на 1, 5 метра?

Разделы

• Преобразование подобия
• Подобные фигуры и их свойства
• Признак подобия треугольников по двум углам
• Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
• Признак подобия треугольников по трем сторонам
• Подобие прямоугольных треугольников

Преобразование подобия

Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия , если при этом преобразовании расстояние между точками изменится в одно и то же число раз

Свойства преобразования подобия

Проверь себя

Иллюстрация определения

Задание 1

Задание 2

8см

32 см

Пример преобразования подобия

5 см

• Расстояние между соответствующими точками изменилось в 4 раза, значит, фигуры были подвергнуты преобразованию подобия

О

С

В

А

Н

К

20 см

М

Р

Свойства преобразования подобия

Свойство 1:

Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки;

Свойство 2:

Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми

Задание 1

Квадрат F1 был подвергнут некоторому преобразованию. В результате была получена фигура F2. Будет ли данное преобразование являться преобразованием подобия? Свой ответ обоснуйте.

F 2

F 1

3 м

2 м

Задание 2

У подобных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 ∠А=30°, АВ=1 м, ВС=2м, В 1 С 1 = 3м. Чему равны

∠ А 1 и сторона А 1 В 1 ?

А 1

В

С

В 1

1 м

30°

А

С 1

Проверь себя

• Что такое преобразование подобия?

• Какие свойства преобразования подобия ты знаешь?

• Что такое коэффициент подобия?

Подобные фигур

Две фигуры называются подобными , если они переводятся друг в друга преобразованием подобия

Свойства подобных фигур

Иллюстрация определения

Проверь себя

Задание 1

Задание 2

5см

15см

6 см

18 см

Подобные фигуры

А

Расстояние между соответствующими точками изменилось в одно и то же число раз, значит, треугольники были подвергнуты преобразованию подобия, следовательно треугольники подобны:

∆ АВС ∾ ∆А 1 В 1 С 1

число 3 – коэффициент подобия

∾ - знак подобия фигур

А 1

С

В

4см

В 1

С 1

12см

Свойства подобных фигур

• Если фигура А подобна фигуре В, а фигура В подобна фигуре С, то фигуры А и С подобны;

• У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны.

Пример 1

Пример 2

Пример 1

• Квадрат А ∾ квадрату В, а квадрат В ∾ квадрату С

квадрат А ∾ квадрату С

А

3 см

С

2 см

В

5 см

Пример 2

∆ АВС ∾ ∆КМН

∠ А=∠ К, ∠В=∠М, ∠С=∠Н

и АВ:КМ=ВС:МН=АС:КН

Против равных углов лежат пропорциональные стороны

А

В

Н

С

М

К

Задание 1

• Дано : ∆АРЕ ∾ ∆НРО

Определите:

пары равных соответственных углов;

Составьте:

отношение

соответствующих сторон

Р

Н

О

A

Е

6 см

7 см

y

x

Задание 2

В

• Дано : ∆АВС ∾ ∆МРН

АВ:МН=2

Найти : х, у, z

Р

A

С

8 см

Н

М

z

Проверь себя

• Какие фигуры называются подобными?

• Каким знаком обозначается подобие фигур?

• Как записывается подобие треугольников?

Признак подобия треугольников по двум углам( I признак подобия)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Иллюстрация

Проверь себя

I признака

Задание 1

Задание 3

Задание 2

I признак подобия треугольников

В

Если ∠А= ∠М и ∠В= ∠Р, то

∆ АВС ∾ ∆ МРН

Р

A

С

Н

М

Задание 1

• Докажите подобие треугольников

А

35°

Р

65°

С

В

35°

Т

80°

О

Задание 2

А

• Докажите подобие треугольников и запишите равенство отношений соответствующих сторон.

С

Е

Р

Т

Задание 3

• Дано: АМРТ - трапеция

МО=4см, ТО=12 см, ТА=24 см

Найти:

длину меньшего основания трапеции

Р

М

О

А

Т

Проверь себя

• Какие условия должны выполняться для подобия треугольников по первому признаку?

• Будут ли подобны треугольники, если:

∆ АВС: ∠А=65°, ∠В=80°, ∠С=35°

∆ А 1 В 1 С 1: ∠А 1 =35°, ∠В 1 =55°?

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними (II признак подобия)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны , то треугольники подобны

Иллюстрация

Проверь себя

II признака

Задание 1

Задание 2

Задание 3

II признак подобия треугольников

В

Если ∠В= ∠В 1 и ВА:В 1 А 1 =ВС:В 1 С 1

А

С

В 1

∆ АВС ∾ ∆А 1 В 1 С 1

А 1

С 1

4 см

3,5 см

8 см

7 см

Задание 1

В

• Определите, будут ли треугольники подобны по второму признаку

40°

А

В 1

С

40°

А 1

С 1

5 см

10 см

10см

Задание 2

В

• Докажите подобие треугольников по второму признаку и определите коэффициент подобия

А

С

40°

В 1

70°

А 1

С 1

Задание 3

• Дано:

АО=2 см, ОС=5см, ЕО=4см, МО=10 см, АС=6 см

Найти: длину МЕ

Е

А

О

?

С

М

Проверь себя

• Перечисли условия для подобия треугольников по второму признаку.

• Дополни условие так, чтобы треугольники были подобны по второму признаку:

∆ АВС: АВ=16 см, СА=20, ∠С=35°

∆ А 1 В 1 С 1: А 1 В 1 =4 см, ∠С 1 =35°, С 1 А 1 = …

Признак подобия треугольников по трем сторонам (III признак подобия)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны

Иллюстрация III признака

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Проверь себя

III признак подобия треугольников

• Если

∆ АВС ∾ ∆ А 1 В 1 С 1

В

С

А

А 1

С 1

В 1

Задание 1

• Подобны ли два равносторонних треугольника?

К

А

10 см

Е

Н

Т

Р

20 см

Задание 2

• Подобны ли треугольники АВС и МРК, если:

• АВ=1 м, АС=2 м, ВС= 1,5 м и
• АВ=1 м, АС=2 м, ВС= 1,5 м и

МР=8м, МК=16 м, РК=12 м;

• АВ=1 м, АС=2 м, ВС= 1,25 м и
• АВ=1 м, АС=2 м, ВС= 1,25 м и

МР=10м, МК=20 м, РК=13 м;

16 м

Задание 3

• Стороны треугольника равны 8 м, 16 м и 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 55 м.

?

2 м

?

Р=55 м

8 м

?

Проверь себя

• Сформулируй условие, при котором треугольники будут подобны по III признаку подобия.

• Измени условие так, чтобы треугольники были подобны по III признаку:

∆ АВС : АВ=12 см, ВС=15 см, АС=18 см

∆ А 1 В 1 С 1 : А 1 В 1 =24 см, С 1 А 1 =45 см, В 1 С 1 = 30 см

Подобие прямоугольных треугольников

Для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному острому углу

Иллюстрация признака подобия

Проверь себя

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Подобие прямоугольных треугольников

• Если треугольники прямоугольные и

∠ С= ∠С 1

В

А

С

В 1

∆ АВС ∾ ∆ А 1 В 1 С 1

А 1

С 1

Задание 1

• Найди пары подобных треугольников и докажи их подобие

А

М

Е

Н

Задание 2

• В треугольнике МНК известны длины катетов МН=4 см и КН=3 см, а в треугольнике МСО – длина катета СО, равная 9 см. Найдите длину катета МС треугольника МСО.

М

Н

К

О

С

Задание 3

• Дано: АВМН – прямоугольник

АК=8 см, АН= см

Найти: ВН, АВ

М

В

К

8

Н

А

Проверь себя

• Назовите условие, при котором прямоугольные треугольники подобны.

• Будут ли подобны прямоугольные треугольники, если у одного острый угол равен 40°, а у другого – 50 °?