Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Основная задача обучения математике – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждого человека, достаточных для изучения смежных дисциплин.

Тема  «Вычисление площадей  плоских  фигур  с  помощью  определенного  интеграла»  является  одной  из  заключительных  в  разделе математического анализа  и  особенного  важной  в  курсе  математики,  так  как  знакомит  с  новым  инструментом  познания  мира.

Одной  из  самых  важных  задач  преподавания  математики является  формирование  у  учащихся  пространственных  представлений, а  также  способности  и  умения  производить  операции  над  пространственными  объектами.  Такими  умениями  и  навыками  учащийся  не  сможет  обладать  без  наличия  определенных  знаний  об  объектах  на  плоскости.  Формированию  базовых  понятий  пространственного  восприятия  способствует  не  только  планиметрия,  но  и  многие  темы  математического  анализа,  например,  предложенная.

Вычисление  площадей  «нестандартных»  фигур  позволяет  развивать  у  учащихся  логику  мышления,  культуру  математического  восприятия,  совершенствовать  вычислительные  навыки,  а  главное  показывает  практическую  значимость  и  ценность  данного  материала.

Как известно, эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим  и  творческим содержанием. Потребность в использовании практических материалов при обучении математике диктуется тем, что возникновение, формирование и развитие математических понятий имеют своим источником ощущения и восприятие, а также и тем, что в познавательной деятельности учащегося имеет место тесная связь логических процессов мышления и чувственных восприятий. Поэтому обращение к примерам из жизни, окружающей обстановке облегчает преподавателю возможность организовать учебную деятельность и поддерживать интерес  учащихся к обучению.

Математика использует практические  задачи  для иллюстрации некоторых процессов, явлений и их исследования. Интеграл – не исключение. Определенный класс задач решается с его использованием.

Понятие интеграла не на много сложнее таких понятий, как «вектор» или «подобие фигур», которые незыблемо входят в программу. Давно пора сделать понятие интеграла достоянием всякого культурного человека, чем бы он ни занимался.

Одними из организационных моделей ИКТ на данном  занятии являются использование интерактивной  доски  и  графопостроителя  Advanced Grapher:  обучающиеся  начинают понимать  сложные идеи в результате более ясной, эффективной и динамичной подачи материала (широкая реализация принципа наглядности),  проявляется творческая работа, занятие становится интересным и развивает мотивацию, предоставляется больше возможностей для участия в коллективной работе, развития личных и социальных навыков,  а  также  формирования  компьютерной  грамотности.

При выполнении заданий использование данных  технических  и  программных  средств  позволяет уделить большое внимание достижению целей занятия и успешной отработке практических навыков обучающихся.

Выбранная  форма  проведения,  сочетающая  в  себе  фронтальную  и   групповую  работу  с  применением  ИКТ,  позволяет  эффективно  воздействовать  на  познавательную  активность  всех  учащихся   группы  и  добиться  высоких  результатов  в  качестве  знаний.

1. Организационный момент

Слайды № 1 – 3

Приветствие  преподавателем и студентами друг друга, проверка посещаемости.

Сообщение  темы,  дидактической  цели  и  этапов  основной  деятельности:

повторить, какая фигура называется криволинейной трапецией,

повторить, как находится площадь криволинейной трапеции,

закрепить данные понятия на практическом материале.

2.  Психологический  компонент  образовательной  деятельности  (мотивация)

Слайды № 4 – 7

Ребята, мы с вами уже говорили о том, что мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа.

Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие почти обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах. Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Евдокс и Архимед (4;3 века до нашей эры) для решения задач вычисления площадей и объемов  придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (или объем) вычисляли как сумму площадей (или объемов) полученных элементарных кусочков.

В Древней Греции слуги фараонов с людей собирали налог за землю. Для этого существовали землемеры, которых называли гарпедонаптами, в обязанности их входило измерение площадей земельных участков. Получить должность гарпедонапта было нелегко, ими становились самые умные, сообразительные, обладающие хорошим глазомером и воображением люди.

В Древнем Вавилоне в 3 веке до нашей эры умели вычислять площади прямоугольника и трапеции в квадратных единицах.

Древнеиндийская геометрия использовала для вычисления площадей способ деления четырёхугольников прямыми на квадраты с известной площадью.

Во второй половине 17 века  идеи, подготовленные  всем  предшествующим   развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком Исааком Ньютоном и немецким математиком Готфридом-Вильгельмом Лейбницем. Они создали стройную систему понятий,  выработали правила, по которым можно вычислять площади  различных  плоских  фигур  с  помощью  определенного  интеграла.

Как и в древние времена, практическая необходимость измерения площадей актуальна и сейчас, например, площадь поверхности водохранилища нужно знать проектировщикам, чтобы заранее определить, как будет испаряться вода из заполненного водоёма.

Приведите свои примеры профессий, где во время работы приходится вычислять или оценивать площади (моляры, портные строители, заведующие складом, агрономы и т. д.)  А  необходимы  ли  в  вашей  профессии  знания  по  вычислению  площадей  фигур?

3.  Актуализация  опорных  знаний - все  задания  выполняются  на  слайдах  разработанной  презентации  с  использованием  интерактивной  доски

Слайды № 8 – 22

Прежде  чем  приступить  к  вычислениям,  давайте  вспомним  те  понятия  и  формулы,  которые нам  с  вами  пригодятся. 

Какая фигура называется криволинейной трапецией?

Весь материал - в архиве.