Презентация по математике "Непрерывность функции"

Определение:

- Функция называется непрерывной в точке, если:

- функция определена в точке и ее окрестности;

- существует конечный предел функции в точке;

- это предел равен значению функции в точке, т.е.

limf(x)=f(a)

Непрерывность на множестве:

Aункция непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если функция непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то она непрерывна на этом отрезке, причем непрерывность в точке а понимается как непрерывность справа, а непрерывность в точке b – как непрерывность слева.

Теорема:

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть если

limΔy=0

Презентация на тему:

Непрерывность функции

Определение: Функция  называется непрерывной в точке , если: функция  определена в точке  и ее окрестности; существует конечный предел функции  в точке ; это предел равен значению функции в точке , т.е.  

Непрерывность на множестве:

функция непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если функция непрерывна в каждой точке отрезка [ a, b ], то она непрерывна на этом отрезке, причем непрерывность в точке а понимается как непрерывность справа, а непрерывность в точке b – как непрерывность слева.

Теорема: Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть если

Разрывы функций:

• 1. Если существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку называют точкой разрыва первого рода. При этом величину

называют скачком функции в точке .

Разрывы функций:

2 . Если в точке , но в точке функция либо не определена, либо ,то эта точка является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если доопределить или видоизменить функцию , положив

,

то получится непрерывная в точке функция.

Разрывы функций:

3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

точки разрыва второго рода - это точки, в которых функция стремится к бесконечности. Например,

в точке х=1 имеет разрыв 2-го рода.

Теорема Вейерштрасса:

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке (a,b) то она достигает на этом отрезке наименьшего значения м и наибольшего значения М

Теорема Больцано-Коши:

• Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке (а,b)и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные значения то внутри отрезка найдется точка E, f(c)=0

Презентацию выполнил :

• Григорьев Денис Олегович
• Студент  Петропавловского Строительно -Экономического Колледжа