Треугольник. Первый признак равенства треугольников
ТРЕУГОЛЬНИК - это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
ТРЕУГОЛЬНИК
и его элементы
В
- A , B , C – вершины,
- АВ, ВС, АС –стороны,
- A , В, С – углы.
А
С
№ 87
Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами М, N и P
a) Назовите все углы и стороны ∆.
б) С помощью линейки измерьте стороны треугольника и найдите периметр.
Е и К прилежат к стороне ЕК,
а D заключен между сторонами
DE и DK и
D лежит против стороны EK.
E
D
K
- Назовите углы треугольника MNP, прилежащие к стороне MN .
N
P
M
- Назовите угол треугольника DEK, заключенный между сторонами DE и DK
E
D
K
- Назовите угол треугольника MNP, заключенный между сторонами Р N и РМ.
N
P
M
- Между какими сторонами треугольника DEK заключен угол К
E
D
K
- Между какими сторонами треугольника MNP, заключен угол N
N
P
M
№ 88
Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямой. Назовите:
а) стороны, лежащие против углов D, Е, F
б) углы, лежащие против сторон DE,EF,FD
в) углы, прилежащие к сторонам DE,EF,FD .
№ 9 1 Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.
№ 92 Периметр одного треугольника больше периметра второго, могут ли быть равными эти треугольники?
ОТВЕТ: нет, т. к. у равных фигур ВСЕГДА равны все элементы, в том числе и стороны. А периметр- это сумма всех этих сторон.
Теорема - это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, а сами рассуждения называются доказательством теоремы .
- Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого . ∆ABC = ∆PSK .
- Задание: Выпишите соответственно равные элементы этих треугольников.
B
S
K
A
C
P
Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые его элементы, так как на практике это наложение не возможно, например для двух земельных участков
Для этого существуют три признака равенства треугольников
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
ТЕОРЕМА
С
C 1
Дано: ∆ ABC и ∆ A 1 B 1 C 1
A С = A 1 C
AC = A 1 C 1 ;
AB = A 1 B 1 .
Доказать: ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1
A 1
B
A
B 1
.
.
ТЕОРЕМА
С
C 1
Дано: ∆ ABC и ∆ A 1 B 1 C 1
A С = A 1 C
AC = A 1 C 1 ;
AB = A 1 B 1 .
Доказать: ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1
A 1
B
A
B 1
Доказательство:
1.Так как A = A 1 , то ∆ ABC можно наложить на ∆ A 1 B 1 C 1 , так что А совместится с A 1
, а стороны АВ и АС наложатся соответственно
на лучи A 1 B 1 и A 1 C 1
.
ТЕОРЕМА
С
C 1
Дано: ∆ ABC и ∆ A 1 B 1 C 1
A С = A 1 C
AC = A 1 C 1 ;
AB = A 1 B 1 .
Доказать: ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1
A 1
B
A
B 1
Доказательство:
2.Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 то сторона АВ совместится со стороной A 1 B 1 , а сторона АС- со стороной A 1 C 1 , в частности, совместятся точки В и B 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 C 1 .
.
ТЕОРЕМА
С
C 1
Дано: ∆ ABC и ∆ A 1 B 1 C 1
A С = A 1 C
AC = A 1 C 1 ;
AB = A 1 B 1 .
Доказать: ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1
A 1
B
A
B 1
Доказательство:
1.Так как A = A 1 , то ∆ ABC можно наложить на ∆ A 1 B 1 C 1 , так что А совместится с A 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи
A 1 B 1 и A 1 C 1
2.Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 то сторона АВ совместится со стороной A 1 B 1 , а сторона АС- со стороной A 1 C 1 , в частности, совместятся точки В и B 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 C 1 .
Итак, треугольники полностью совместятся, а значит они равны.
.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
K
P
E
F
T
M
- Что известно о треугольниках MKT и EPF ?
- Какой вывод можно сделать?
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
B
D
O
A
C
- Что известно о треугольниках ABO и DCO ?
- Чего не хватает для того чтобы сделать вывод о равенстве треугольников?
ЗАДАЧА (№94а)
A
- Дано: ∆ ABD u ∆ CDA ;
- AB = BC;
- 1 = 2 ;
- Доказать:
- ∆ ABD = ∆ CDA
C
1
2
D
B
Доказательство:
1) Рассмотрим ∆ ABD и ∆ CDA;
ЗАДАЧА (№94а)
A
- Дано: ∆ ABD u ∆ CDA ; AB = А C;
- 1 = 2 ;
- Доказать:
- ∆ ABD = ∆ CDA
C
1
2
D
B
Доказательство:
2) Значит, ∆ ABD = ∆ CBD по двум сторонам и углу между ними.
ЗАДАЧА (№95 a )
B
C
- Дано: AD = BC;
- 1 = 2 ;
- Доказать:
- ∆ ABC = ∆ CDA.
1
2
D
A
Доказательство:
1) Рассмотрим ∆ ABC и ∆ CDA;
ЗАДАЧА (№95 a )
B
C
- Дано: ВС = А D;
- 1 = 2 ;
- Доказать:
- ∆ ABC = ∆ CDA.
1
2
D
A
Доказательство:
2) Значит, ∆ ABC = ∆ CDA по двум сторонам и углу между ними.
ЗАДАЧА
К
- Дано: AK = PM;
- KAP = MPA ;
- K = 120 ⁰
- Найти M .
Р
A
М
Решение:
1) Рассмотрим ∆ KAP и ∆ MPA;
- KAP = MPA по условию,
ЗАДАЧА
К
- Дано: AK = PM;
- KAP = MPA ;
- K = 120 ⁰
- Найти M .
Р
A
М
Решение:
2) Значит, ∆ KAP = ∆ MPA по двум сторонам и углу между ними.
3) Из равенства треугольников следует K = M = 120 ⁰ .
Ответ: M = 120 ⁰ .
- Перечислите виды треугольников, которые вы знаете.
- Какое утверждение называется теоремой? Что такое доказательство теоремы?
- Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
Итог урока
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
П14,15 вопросы 1-4 к главе 2 Теорему и доказательство учить;
№ 90