Правильные многоугольники

Цель урока. Сформировать понятия  правильного многоугольника, центра и центрального угла правильного многоугольника.

Задачи:

Образовательные: расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях.

Развивающие: развить умения и навыки вычислять значение геометрических величин.

Воспитывающие:

осуществление эстетического воспитания;

способствовать обогащению внутреннего мира школьников.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать: основные понятия “многоугольник”, “угол многоугольника”, “внешний угол многоугольника ”;

Учащиеся должны уметь: строить описанные и вписанные треугольники;

Оборудование. Мультимедийный проектор, мультимедийная презентация, циркуль, линейка.

Ход урока.

I. Организационный момент

Объявление темы и цели урока сопровождается показом 1 и 2 слайда презентации. Организационный момент длится 2-3 минуты.

II. Проверка домашнего задания. 

Проверить наличие выполненного домашнего задания и ответить на вопросы, возникшие у учащихся при его выполнении.

III. Повторение  и обобщение знаний учащихся о многоугольниках. (слайд № 3).

Сформулируйте определение многоугольника; вершин, сторон, диагоналей многоугольника.

Какие многоугольники Вам известны?

Что такое угол многоугольника? Внешний угол?

Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника?

Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-угольника?

IV. Объяснение новой темы. (Слайд №4).

Определение правильного многоугольника:  Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называется правильным.

Задание классу:

Какой треугольник называется правильным?

Какой четырехугольник называется правильным?

Найдите углы правильного шестиугольника.

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если угол при его вершине равен 108°?

Повторение сведений о вписанных и описанных треугольниках. (Слайды №5 и №6).

Какая окружность называется описанной около треугольника?

Можно ли  около любого треугольника описать окружность?

Где располагается центр окружности, описанной около треугольника?

Какая окружность называется вписанной в треугольник?

В любой ли треугольник можно вписать окружность?

Где располагается центр окружности, вписанной в треугольника?

Определение вписанных  многоугольников

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Определение описанных  многоугольников

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Данный материал сопровождается показом слайда №7.

Далее учащимся формулируется теорема (слайд  №8):

Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

После формулировки теоремы, которую учащиеся заносят себе в тетрадь, следует ее доказательство (слайд №9).

Доказательство:

Пусть A и B – две соседние вершины правильного многоугольника.Проведем биссектрисы углов A и B, пересекающиеся в точке O. Треугольник AOB – равнобедренный  ( , где α – угол правильного многоугольника). Соединим точку O с вершиной C, соседней с вершиной B. ΔABO=ΔCBO (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников вытекает, что ΔOBC – равнобедренный,  , т.е. CO – биссектриса . Соединим точку O с вершиной D, соседней с вершиной C, и докажем, что ΔCOD – равнобедренный и DO  - биссектриса  и т.д.

Следовательно, Δ ABO =Δ BCO = Δ CDO - … все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, проведенные к их основаниям. Отсюда следует, что все вершины многоугольника лежат на окружности с центром O и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром O и радиусом, равным высотам треугольников, проведенным из вершины O.

V. Закрепление материала. (слайд №10)

Почему биссектрисы углов А и B пересекаются?

α – угол многоугольника. Почему равны углы OAB и OBA?

Определите вид ΔAOB. Ответ обоснуйте.

Почему ΔABO = ΔBOC= Δ COD?

Почему OA=OB=OC=OD? Какой вывод можно сделать из этого равенства?

Почему высоты ΔABO, ΔBOC, Δ COD, проведенные из точки O, равны?

VI. Подведение итогов. Домашнее задание.