Практический курс по "Теории множеств"

Практический курс

Множества. Элементы множества.

Упражнения

1. Пусть А={1,4,5}; В={0,3,4,7}. Найти: А U В, А∩ В

2.  Найти пересечение, объединение и разность множеств:

А={1,2,3,5} и В={3,5,7,10}

3. Пусть множество А = ]-; 10], а множество B = [-8;8]. Найти разность множеств А\В.

4. Чему равно число всех подмножеств множества С = {1,3,0,7,9,5,4,6}?

5. Пусть А – множество делителей числа 15.

В – множество делителей числа 6.

С – множество чётных чисел меньших 9.

Найти А U В, А U С, B U C.

6. Пусть А – множество чисел кратных 3, но меньше 18.

В – множество делителей числа 18.

С – множество нечётных чисел меньших 20.

Найти А U В, А ∩ С, B U C.

7. Записать и изобразить в виде отрезков следующие множества:

8. Задать перечислением элементы множества всех положительных делителей числа 36. Можно ли задать таким способом множество всех чисел, кратных 36?

9. Определить отношение между множествами:

а) Z и Q; b) Q и R.

10. В чём ошибочность следующих формулировок:

а) если элементы множества А принадлежат другому множеству В, то множество А включается в В;

b) если два множества содержат одни и те же элементы то они равны?

Как исправить эти формулировки?

11. Построить диаграмму Венна для трёх множеств А, В, С, если известно, что А⊏В и В⊏С. В каком отношении находятся множества А и С?

12. Изобразить с помощью диаграммы Венна отношения между множествами:

а) целых, рациональных и вещественных чисел;

b) ромбов, прямоугольников, параллелограммов, квадратов.

13. В группе из 100 туристов, 70 человек знают английский язык, 45 человек знают французский, 23 человека знают оба эти языка. Сколько человек в группе не знают этих языков.

14. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже 5 получили 180 человек, выдержали экзамен 210 абитуриентов. Сколько абитуриентов получили оценку 5? Сколько оценку 2? Сколько 3 и 4?

15. Было 30 невест. Из них воспитанных 21, 18 красивых, умных 15, воспитанных и красивых 11, красивых и умных 7, умных и воспитанных 9. Сколько среди них воспитанных, красивых, умных?

Ответы к упражнениям

1. АUВ={0,1,3,4,5,7}; А∩В={4}. 2. А∩В={3,5}; АUВ={1,2,3,5,7,10}; А\В={1,2}; В\А= {7,10}. 3. А\В = (-[, -8] U [8,10]. 4.2⁸ = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 256. 5. А= {1,3,5,15}; В= {1,2,3,6}; С= {2,4,6,8}. АUВ={1,2,3,5,6,15}; АUC{1,2,3,4,5,6,8,15}; ВUС={1,2,3,4,6,8}. 6. А={3,6,9,12,15};

В={1,2,3,6,9,18}; С={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}.

АUВ={1,2,3,6,9,12,15,18}; А∩С={3,9,15}; ВUС={1,2,3,5,6,7,9,11,13,15,1718,19}. 7. а) х=]2,5[; b)х=[2,5]; с)х=[2,5[; d)х=]2,5]; i)х=]2,+[; l)х=[2, +[; к)=]2,+[; Ь)х=[2,+[. 8. 1)1,2,3,4,6,9,12,18,36; 2) нет, т.к. оно бесконечно. 9. а) ZО; Ь) QR. 10. а) пропущено слово «все» (если все элементы множества А принадлежат другому множеству В, то множество А включается в В); b) см. определение равенства множеств. 14. АС. 13. 70+45-23=92; 100-92=8. 14. 250-180=70 -получили оценку «отлично»; 250-210=40 - получили оценку «неудовлетворительно»; 210-70=140 - получили оценки «3» и «4».

15. 30=21+18+15-11-7-9+х; х=3.

Самостоятельная работа

Множества. Элементы множества.

1. Найдите пересечение множеств А и В если:

1) А = {a, b, c, d, e, f} B = {d, e, f, k, l}

2) A = {26, 39, 5, 58, 17, 81} B = {17, 26, 58}

3) A = {26, 39, 5, 58, 17, 81} B = {2, 6, 3, 9, 1, 7}

2. Из каких элементов состоит пересечение и объединение множеств букв в словах «математика» и «геометрия»?

3. Из 40 учащихся класса 34 – выписывают газету, 23 – журнал, 17 учащихся и газету и журнал. Есть ли в классе учащиеся, которые не выписывают ни журнал, ни газету?

4. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 – занимаются и в той и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секциях?

5. Из 50 учащихся 37 изучают английский язык, 17 – немецкий. Сколько человек изучают оба языка?

6. Из 100 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий – 50 человек, французский – 41. Английский и немецкий – 13, английский и французский – 14, немецкий и французский – 12. Сколько студентов изучают все три языка?

7. Из 100 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий – 50 человек, французский – 41. Английский и немецкий – 13, английский и французский – 14, немецкий и французский – 12. Все три языка изучают четверо. Сколько студентов изучают только один язык?

8. В лыжной, хоккейной и конькобежной секциях занимаются 38 человек. В лыжной секции занимается 21 человек, среди которых 3 человека занимаются ещё в конькобежной секции, 6 человек ещё в хоккейной секции и 1 человек занимается одновременно во всех трёх секциях. В конькобежной секции занимается 13 человек, среди которых 5 человек занимаются одновременно в двух секциях. Сколько человек занимаются в хоккейной секции?

9. В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимаются плаванием 25, ходят на лыжах 27. Одновременно занимаются плаванием и баскетболом – 15, баскетболом и лыжами – 16, плаванием и лыжами 18 человек. Один из учащихся освобождён от занятий по физкультуре. Сколько человек занимаются всеми указанными видами спорта?

10. За границу выехала группа туристов из 100 человек. 10 из них не знают ни немецкий, ни французский. 75 знают немецкий язык, 83 – французский. Сколько туристов владеют обоими иностранными языками?

11. Из группы в 1000 студентов, занимающихся естественными науками, 630 студентов посещают лекции по крайней мере одного курса по биологии, 390 – по химии и 720 – по математике. Известно также, что 440 студентов посещают и математику и биологию, 250 – математику и химию, 200 – биологию и химию. Кроме того, известно, что 130 студентов посещают лекции по всем 3-м предметам. Сколько из 1000 студентов не посещают ни биологии, ни химии, ни математики? Сколько студентов посещают только один из 3-х предметов? Сколько студентов посещают ровно 2 предмета?

12. Из группы в 98 студентов, занимающихся спортом, 63 ходят в секцию самбо, 39 – в секцию каратэ и 72 в секцию гимнастики. Известно также, что 44 посещают и самбо и гимнастику, 25 – каратэ и гимнастику, 20 – самбо и каратэ. Сколько человек посещают 3 секции одновременно?

13. В некотором ареале имеется 100 сосуществующих видов животных. Из них 80 видов питаются днём и 30 видов питаются ночью. Сколько видов питаются только днём? Сколько видов питаются и днём и ночью?

14. В группе 10 человек. Из них трое увлекаются живописью, 5 – историей, 4 – литературой. 2 – одновременно и живописью и историей, 2 – живописью и литературой, 3 – литературой и историей. 1 увлекается и живописью, и историей, и литературой. Сколько человек увлекаются лишь чем-то одним?

15. Из 6 человек в группе трое увлекаются живописью, 5 – историей, 4 – литературой. 2 – одновременно и живописью и историей, 2 – живописью и литературой, 3 – литературой и историей. Есть ли среди них такие, которые увлекаются сразу и живописью, и историей, и литературой и сколько их?

16. В группе 10 человек. Из них трое увлекаются живописью, 5 – историей, 4 – литературой. 2 – одновременно и живописью и историей, 2 – живописью и литературой, 3 – литературой и историей. 1 увлекается и живописью, и историей, и литературой. Сколько человек в группе не увлечены ни одним из этих предметов?

17. Из группы в 170 студентов, занимающихся естественными науками, 70 студентов посещают лекции по крайней мере одного курса физики, 95 ходят на биологию и 80 – на математику. Предположим, что 30 студентов посещают и математику и физику, 35 – математику и биологию, а 15 – биологию и физику. Предположим также, что 5 студентов посещают лекции по всем 3-м предметам. Сколько студентов посещают лекции ровно по двум из этих трёх предметов? Сколько студентов посещают лекции только по одному из 3-х предметов? Сколько студентов не посещают ни один из перечисленных предметов?

18. Из группы в 200 студентов 70 посещают лекции по физике, 95 - по биологии и 80 – по математике. Предположим, что 30 студентов посещают и математику и физику, 35 – математику и биологию, а 15 – биологию и физику. Предположим также, что 5 студентов посещают лекции по всем 3-м предметам. Сколько студентов не занимаются ни одним из перечисленных предметов?

19. А – подмножество множества натуральных чисел. Каждый элемент множества А есть число, кратное или 2, или 3 или 5. Найти число элементов в множестве А, если среди них имеется: 70 чисел, кратных 2, 60 чисел кратных 3, 80 чисел кратных 5, 32 числа кратных 6, 35 чисел кратных 10, 38 чисел кратных 15 и 20 чисел кратных 30.

20. В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо 1 торт, либо 1 коробку конфет, либо 1 торт и 1 коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт и коробку конфет?

21. В футбольной секции занимается 65% учащихся, в волейбольной 70%, а в баскетбольной 75%. Какой минимальный процент учащихся может заниматься одновременно во всех трёх секциях? (Ответ. 10%).

Ответы:

1. {d,е,f}, {26, 17, 58}; . 2. А∩В = {мтеи}; АUВ = {матеикгоря}. 3. 0. 4. 13. 5. 4. 6. 4. 7. 69. 8. 17. 9. 10. 10. 68. 11. 20; 350; 500. 12. 13. 13.70;10. 14.1. 15.1. 16. 4. 17. 65; 100; 0. 18.30. 19.125. 20. 81. 21. 10%.