Пособие по теме Функции

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По дисциплине: МАТЕМАТИКА(включая алгебру и начала математического анализа; геометрию)

Тема: «Функции»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2020

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2020 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия: функции, видов функций, способы задания функции, основные свойства функций,графики функций и подготовится к занятию по теме «Функции».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Функции, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.

Функции

Определение: Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение: y = f(x), где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);

2. табличный способ (с помощью таблицы);

3. описательный способ (с помощью словесного описания);

4. графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля

– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля

– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом  , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x_1 2 выполнено неравенство f(x₁)₂).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x_1 2 выполнено неравенство f(x₁) f(x₂).

Иными словами:

функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

4. Экстремумы

Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_max , выполнено неравенство f(х)  f(X_max).

Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

Х_max – точка максимума

У_max – максимум

Точка Х_min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_min , выполнено неравенство f(х)  f(X_min).

Значение Y_min=f(X_min) называется минимумом этой функции.

X_min – точка минимума

Y_min – минимум

X_min, Х_max – точки экстремума

Y_min, У_max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ – нули функции y = f(x).

Нули функции

Нулём функции y=f(x) называется такое значение аргумента x₀, при котором функция обращается в нуль.

Линейная функция y=kx+m

Графиком функции y=kx+m является прямая.

Свойства функции y=kx+m

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает, если k0, убывает, если k

3) не ограничена ни снизу, ни сверху;

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5) функция непрерывна

6) E(f)=(−∞;+∞).

Функция y=kx²,k≠0

Графиком функции y=kx²,k≠0 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если k0, и вниз, если k

Свойства функции y=kx²,k≠0

Для случая k0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y_наим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞);

7) выпукла вниз.

Свойства функции y=kx²,k≠0

Для случая k

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает на луче (−∞;0], убывает на луче [0;+∞);

3) не ограничена снизу, ограничена сверху;

4) наименьшего значения не существует, y_наиб=0;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=(−∞;0];

7) выпукла вверх.

Функция y=k/x

Графиком функции является гипербола.

Свойства функции y=k/x

1) D(f)=(−∞;0)∪(0;+∞);

2) если k0, то функция убывает на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞); если k

3) не ограничена ни снизу, ни сверху;

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5) функция непрерывна на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞);

6) E(f)=(−∞;0)∪(0;+∞).

Функция y= √x

Графиком функции y=√x является ветвь параболы.

Свойства функции y=√x

1) D(f)=[0;+∞);

2) возрастает;

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4)yнаим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞);

7) выпукла вверх.

Функция y=|x|

Графиком функции является объединение двух лучей: y=x,x≥0 и y= −x, x≤0.

Свойства функции y=|x|

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y_наим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞).

Функция y=ax²+bx+c Графиком функции y=ax²+bx+c является парабола с вершиной в точке (x₀;y₀), где x₀=−b/2a,y₀=f(x₀)=ax₀²+bx₀+c, и с ветвями направленными вверх, если a0, и вниз, если a

Свойства функции y=ax²+bx+c

Для случая a0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;−b/2a], возрастает на луче [−b/2a;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y_наим=y0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[y0;+∞);

7) выпукла вниз.

Для случая a

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает на луче (−∞;−b/2a], убывает на луче [−b/2a;+∞);

3) не ограничена снизу, ограничена сверху;

4) наименьшего значения не существует, yнаиб=y0;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=(−∞;y0];

7) выпукла вверх.

Тест по теме: Функции

Ключ к тесту по теме Функции

Критерии оценивания тестовых заданий

6 вопросов 5 (отлично) (5-6 ответов)

6 вопросов 4 (хорошо) (4 ответа)

6 вопросов 3 (удов) (3 ответа)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов