Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Автор: Н. А. Долбилова

учитель математики

МОУ «Ягницкая школа»

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Понятие последовательности Числовые последовательности

Последовательность – одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т. д.

Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент a n некоторого множества.

Применение индексного обозначения

Элементы последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена,

a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; … ; a n или кратко ( a n ).

a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; … ; a n называются членами последовательности : a 1 – первым , a 2 – вторым, …, a n - общим ( n-ым) членом последовательности.

Наиболее часто рассматриваются числовые последовательности ,

то есть последовательности, члены которых - числа.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Аналитический способ задания числовой последовательности

Словесный способ – правило задания последовательности описано словами. Примером является последовательность простых чисел:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; … .

Аналитический способ – самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающий n - ый член последовательности ( a n ) через его номер n .

Например, если члены последовательности определяется по формуле , то можно записать первые три члена.

Аналитический способ задания последовательности с помощью формулы n – го члена

Ответ:

,

.

,

2. Выпишем первые несколько ее членов: u 2+1 = u 3 = u 2 + u 2-1 =1 + 1= 2; u 3+1 = u 4 = u 3 + u 3 -1 =2 + 1= 3; u 4+1 = u 5 = u 4 + u 4 – 1 =3 + 2 =5, и т. д.   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … . Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи . " width="640"

Рекуррентный способ задания числовых последовательностей

• Другой способ – рекуррентный (от латинского recurrens – «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислить каждый следующий член через предыдущий.
• Формулу, задающую данное правило, называют рекуррентной .
• Пусть (u n ) – последовательность, в которой u 1 = 1, u 2 = 1, u n+1 = u n + u n -1 при n 2.
• Выпишем первые несколько ее членов:

u 2+1 = u 3 = u 2 + u 2-1 =1 + 1= 2;

u 3+1 = u 4 = u 3 + u 3 -1 =2 + 1= 3;

u 4+1 = u 5 = u 4 + u 4 – 1 =3 + 2 =5, и т. д.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … .

Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи .

Свойства числовых последовательностей

Последовательности, содержащие бесконечно много членов, называют бесконечными .

Образцом служит последовательность чисел кратных 5:

5; 10; 15; 20; 25; … .

Последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной .

Например, конечной является последовательность трехзначных чисел

100; 101; 102; … ; 998; 999.

a n для всех n. x n = n 2 +1 – возрастающая последовательность, ее члены числа 2; 5; 10; 17; … . Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности . Последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. " width="640"

Возрастающие и убывающие последовательности

Последовательность (a n ) называется убывающей , если a n+1 n для всех п.

-убывающая последовательность.

Последовательность (a n ) называется возрастающей , если a n+1 a n для всех n.

x n = n 2 +1 – возрастающая последовательность, ее члены числа

2; 5; 10; 17; … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности .

Последовательность

не является ни возрастающей, ни убывающей.

Периодические последовательности

Последовательность (a n ) называется периодической , если существует такое натуральное число Т , что начиная с некоторого п, выполняется равенство a n = a n + T , где Т - является длиной периода.

Например, последовательность a n = (-1) n , т. е. -1; 1; -1; 1,… периодическая с длиной периода Т = 2;

последовательность, п-ый член которой a n есть остаток от деления на 5, т.е. 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0,… периодическая с длиной периода Т = 5.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним

и тем же числом.

Последовательность (a n ) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие

a n+1 =  a n + d, где d - некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство

a n+1 -  a n = d.

Арифметическая прогрессия

0 , то (a n ) - возрастающая прогрессия. Если d , то (a n ) – убывающая прогрессия. Если d = 0 , то (a n ) – постоянная прогрессия. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: a n =  a 1 + d(n – 1) . Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего Арифметическая прогрессия " width="640"

Разность арифметической прогрессии: d = a n+1 - a n

Если d 0 , то (a n ) - возрастающая прогрессия.

Если d , то (a n ) – убывающая прогрессия.

Если d = 0 , то (a n ) – постоянная прогрессия.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

a n =  a 1 + d(n – 1) .

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего

Арифметическая прогрессия

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида

a n =  kn + b, где k и b - некоторые числа.

Сумма  n  первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

или .

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

• Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
• Последовательность (b n ) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия b n ≠0 и b n+1 =b n ∙q, где q – некоторое число.
• Отношение любого члена геометрической прогрессии и ему предшествующего члена, равно одному и тому же числу q и называется знаменателем прогрессии , т. е.

Геометрическая прогрессия

• Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
•   b n =  b 1   q n - 1 .
• Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего его членов.
•  
• Сумма  n  первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:
• или

Геометрическая прогрессия

• Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - это геометрическая прогрессия, у которой  | q |
• Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно:  это число, к которому неограниченно приближается сумма   n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа   n .
• Если | q | ≥ 1, то сумма n первых членов геометрической прогрессии, при неограниченном увеличении n, не стремится ни к какому числу.
• Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Геометрическая прогрессия

•   Пример : Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической   прогрессии:

• Решение.
• Применяем формулу

• Здесь  b 1 = 1,  q = 0,5. Тогда:

Список литературы

• Алгебра. 9 класс: учебн. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 4-е изд. М.: Просвещение, 2017.
• Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. – 10-ое изд., стер. М.: Мнемозина, 2013.
• Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Э-68 Ф. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.-325 с.: ил.
• Журнал «Математика в школе» №8 2006 г .