Понятие системы счисления. Двоичная система счисления.

Тема: Понятие системы счисления. Двоичная система счисления.

Цель:дать понятие о системе счисления, познакомить с двоичной системой счисления, познакомить с записью числа в двоичной системе счисления, с алгоритмами перевода с двоичной системы счисления в десятичную и обратно.

Оборудование: медиапроектор, презентация, ПО ЭВМ.

Ход урока.

I. Организационное начало.

1.Приветствие.

2.Работа с дежурными.

II. Работа по осмыслению и усвоению нового материала.

1.Объявление темы и цели урока.

2.Изучение нового материала.

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами.

Система счисления–это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются: I(1), V (5),X(10),L(50), С (100),D(500), М (1000).

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 100) + (100 10)+ 5 + 1 + 1 + 1.

Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр. Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе – 60 минут).

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так да лее.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр(знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Позиционные системы счисления

Двоичная система счисления. В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа 101 может выглядеть так:

2 1 0

1012= 1*22 + 0*21 + 1*20.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания.

Например,

2 1 0 12

101,012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*21 + 1*22.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное будет следующим:

1.Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.

2.Записать полученные остатки в обратной последовательности.

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби в двоичное будет следующим:

1.Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

2.Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112:

1102

+112

10012

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

1102 = 1*22 + 1*21+ 0*20 = 610;

112 = 1*21 + 1*20= 310;

610+310= 910 .

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

10012 = 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 910.

Сравним результаты – сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

0 0 = _0

0 1 = 11

10= 1

11=0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 1102 и 112:

1102

112

112

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0 * 0 = 0

0 * 1= 0

1 * 0= 0

1 * 1= 1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 1102 и 112:

1102

х112

110

110

100102

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 и 112:

_1102| 11*2

11 10*2

0

IV. Работа по выработке умений и навыков.

№1. Записать число 199910 в римской системе счисления:

1999 = MCMXCIX

№2. Какие числа записаны римскими цифрами:

CMLXXXVIII= 988

MCXLVII= 1147

№3. Запишите в развернутом виде числа:

5 4 3 2 1 0

1) 1435118 = 1*85 + 4*84 + 3*83 + 5*82 + 1*81+ 1*80

5 4 3 2 1 0

2) 1001112 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20

№4. Перевести в десятичную систему следующие числа: 1012, 1112.

1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4+0+1=5

1112 = 1*22 + 1*21+ 1*20 = 4+2+1= 7

№5. Перевести целые десятичные числа 910, 1710, 24310 в двоичную системы счисления.

910 = 10012

1710 = 100012

24310 = 111100112

IV. Итог урока.

Что такое система счисления?

Какие группы систем счисления вы узнали? Приведите примеры.

Каковы правила перевода чисел из одной системы счисления в другую?

Какие правила вычисления в позиционных системах счисления вы узнали?

V. Задание на дом:

Записать числа 19,9910, 10,102 в развернутой форме.

Записать число 745, 3851 в римской системе счисления.