«Подготовка к экзаменам студентов второго курса»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ СО «Исовский геологоразведочный техникум»

«Подготовка к экзаменам студентов второго курса»

Образец решения и оформления решений заданий.

Задание № 1

Исследуйте систему и решите ее методом Крамера.

по методу Крамера: составим главный определитель системы

==8+27-1-6-6+6=28, т.к. ≠0, то система имеет единственное решение.

Находим определители по , по , по . _х ==8+27+1-6-6-6=18

_у ==4+18+-3-3-18+4=2 _z ==-12-9+2+12-9+2=18 Находим ===; ===; ===;

Ответ: Система имеет единственное решение. (;)

Задание № 2

Треугольник АВС задан вершинами в системе координат на плоскости.

Найти. 1. Уравнение прямой АВ;

1. Уравнение высоты, проведённой к стороне АВ;

2. Уравнение прямой, параллельной к прямой АВ и проходящей через точку С;

3. Уравнение прямой, перпендикулярной прямой ВС и проходящей через точку А;

4. Расстояние от точки С до прямой АВ.

Решение: Построим АВС в системе координат по точкам А(-2;3), В(1;5), С(2;-2)

Найдём координаты всех векторов по формуле:

(х_В - х_А; у_В - у_А)

(3; 2), (-3; -2)

(1; -7) (-1; 7)

(4; -5) (-4; 5)

1). Уравнение прямой АВ составляем по формуле

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Прямая АВ (А(-2;3), В(1;5))

, , , Упростим выражение и приведём его к виду Ах+Ву+С=0 2() = 3(), 2х+4 = 3у – 9,

2х - 3у +4 + 9 = 0, 2х - 3у +13 = 0 – Уравнение прямой АВ.

2). Уравнение высоты, проведённой к стороне АВ, это есть прямая СК (3 ; 2)

По уравнению прямой, проходящей через точку М₀() и заданным нормальным вектором (A;B) AB0, где М₀() = С(2;-2) и

(A;B) = (3 ; 2). 320 преобразуем выражение и приведём его к виду Ах+Ву+С=0. 3х - 620, получили

3х20 – Уравнение высоты СК, проведённой к стороне АВ.

3). Уравнение прямой, параллельной к прямой АВ и проходящей через точку С;

Прямая МС С(2;-2) и МС АВ k_МС = k_АВ = = = ; k_МС =

По уравнению k, где С(2;-2) = М₀(), k = k_МС = получаем ; преобразуем выражение и приведём его к виду Ах+Ву+С=0. 0 – Уравнение прямой МС АВ

5). Расстояние от точки С до прямой АВ.

Расстояние от точки С(2;-2) до прямой АВ 2х - 3у +13 = 0 по формуле

d = , где х₀ и у₀ координаты точки С(2;-2), а А и В – коэффициенты х и у в уравнении АВ 2х - 3у +13 = 0;получим d(С(2;-2; АВ) = =

=

Ответ: 1. 2х - 3у +13 = 0 – Уравнение прямой АВ;

2. 3х20 – Уравнение высоты СК;

3. 0 – Уравнение прямой МС АВ;

4. ----

5. d(С(2;-2); (АВ))=.

Задание № 3

Дана функция , где - № варианта.

3.1. Составьте уравнение касательной и нормали к графику данной функции в точке с абсциссой равной 3.

3.2. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=y(t), где у(t) – функция

из задания 3.1.

Найдите ускорение движения и путь, пройденный телом, в момент его остановки.

Решаем задачу для В № 41, т.е. а=41

Составим задачу для указанного варианта: ;

= f(x),

3.1.1 Составим уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой, равной 3.

Геометрический смысл производной функции – это угловой коэффициент касательной, проведённой к данной кривой = f(x), в точке М₀(), т.е. K_{касательной} = у'(х₀),

где K – угловой коэффициент касательной.

Уравнение касательной к графику функции в точке М₀() имеет вид: у у₀ = у'(х₀)(х *

Работаем по плану:

1. Находим у₀ = f() = f() = =

= ) = )(-1 82) = 747 = у₀

2). Находим у'(х) = ( = 3 - 822 = 164;

Находим у'(х₀) = у'(3) = 1649 + 492 = 501 = у'(х₀)

3). Из 1) и 2) подставим в *, получим у (747) = 501(х

у 747 = 501х 501х у = 0 это есть ур. касательной.

3.1.2 Составим уравнение нормали к графику данной функции в точке с абсциссой, равной 3.

Уравнение нормали к графику функции в точке М₀()

у у₀ = = (х ** Нормаль – это прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания, значит K_{нормали} =

4). Из 1) и 2) подставим в **, получим у (747) = (х

После преобразований получим: (у+747)501+х+3=0;

х+501у+374250=0 Уравнение нормали

3.2 Тело движется прямолинейно по закону S(t)=y(t), где у(t) – функция

из задания 2.1.

Найдите ускорение движения и путь, пройденный телом, в момент его остановки.

Решаем задачу для В № 41, т.е. а=41

Составим задачу для указанного варианта: ;

Физический смысл первой производной функции = V(t) – скорость в любой момент времени

Физический смысл второй производной функции = V(t) = а(t)

ускорение в любой момент времени

Полезно знать, что остановка тела характеризуется

Решение.

1). Найдём первую и вторую производные функции

= () = 164 =

= V(t) =(164) = 2 164 = а(t)

2). Т.К. тело остановилось, то . Найдём время остановки.

164 = 0 0 (с) или (с)

Т.К. при = 0 тело начинает движение, то находим

а(164) = 2 = 164()

= = (м)

Ответ:

3.1. Уравнение касательной 501х у = 0

Уравнение нормали х+501у+374250=0

3.2 а(164) = 164()

(м)

Задание 4

Фигура ограничена линиями: y = x² x, y = 0

1. Постройте фигуру в системе координат.

   В

2. Вычислите площадь фигуры.

Вычислите объём тела, полученного вращением фигуры из задания 4.1 вокруг оси ОХ.

АА

Дано: а = 41, y = x² x = f(х), у = 0

4.1) Вычислим площадь фигуры ОАВ по формуле , где a и b точки пересечения линий = 0

0 или в этих точка парабола пересекает ось ОХ.

Вычисления: = =

= = = (кв. ед) площадь фигуры

4.2) Вычислим объём тела, полученного вращением фигуры ОАВ вокруг оси ОХ по формуле V=

Вычисления:

V = =

=

=0=== (куб.ед.) – объём тела вращения.

Ответ: Площадь фигуры = кв. ед. Объём тела вращения V = куб.ед.

Задание № 5.

Примечание – номер варианта, b=+1, c=+2

1. Найдите общее решение дифференциального уравнения.

(с )xy = 2a,

1. Найдите частное решение дифференциального уравнения.

y =6 (b )х + с, если при х_o = 0, у = 2, y;

Составим задачу 5.1). Для 41 варианта: а=41, b=42, c=43

5.1). (43 41)xy = 241 2xy = 241, заменим

2x = 241/

2x = 241разделяем переменные. Для этого делим обе части уравнения на произведение (х)

= = после сокращения получим:

= интегрируем обе части, , = 41, зная, что ln(x)=lnx + lny, и , получим =

= y = это есть общее решение диф. ур-ния.

Ответ: общее решение диф. ур-ния y =

5.2). Составим задачу 5.2). Для 41 варианта: а=41, b=42, с=43

y =6 (b )х + с, если при х_o = 0, у = 2, y;

y =6 (42 41)х + 43 y =6х + 43 =

1. **

, / ; =

3 + 43 х + C₁ =

Найденное значение подставляем в * и вновь решаем диф. уравнение первого порядка умножаем на , интегрируем и получаем:

у = ++х +

Получили общее решение (ОР) диф. ур.

Для нахождения и подставляем в систему начальные условия х_o = 0, у = 2, y

эти значения подставляем в ОР и получаем частное решение (ЧР)

у = ++х +

Ответ: частное решение дифференциального уравнения

при х_o = 0, у = 2, y; у = ++х +

Задание № 6

Преобразовать в геометрическую, тригонометрическую и показательную формы комплексное число Z = a bi, где – номер варианта, b=+1.

Примечание: для всех нечётных вариантов – верхние знаки (+ и ), для четных вариантов – нижние ( и +)

Пример 1Составим задание 6) для 41 варианта, т.е. а=41, в=42.

z = 41 42i.

Преобразуем комплексное число в геометрическую, тригонометрическую, показательную формы.

а

1). Изображаем графически это число. Ему соответствует вектор в 4-ой четверти (41;42).

2).Найдём модуль r = = = . r =

; Из треугольника OaZ находим

tg = = = ; → = arctg ; Т.к. , то

4). Найденные значения r и вставим в тригонометрическую и показательную формы

z = a bi = r z = a bi = r и получим ответ:z = 41 42i = Ответ.

Пример 2

Составим задание 6) для 41 варианта, т.е.

а

а=42, в=43. z = 42 43i.

Преобразуем комплексное число в геометрическую, тригонометрическую, показательную формы.

1). Изображаем графически это число. Ему соответствует вектор во 2-ой четверти (41;42).

2).Найдём модуль r = = = = r

; Из треугольника OАМ находим = = = ; →

= arctg ; Т.к. , то

4). Найденные значения r и вставим в тригонометрическую и показательную формы

z = a bi = r z = a bi = r и получим ответ:

z = 42i+ 43=

Ответ.

КОНЕЦ РАБОТЫ