Отображения

Определение. Соответствие между элементами множеств X и Y называется отображением X в Y, если каждому элементу х из множества X соответствует только один элемент множества Y.

Этот элемент называют образом элемента х при данном отображении.

На графе отображения от каждого элемента, принадлежащего множеству X, отходит только одна стрелка.

Если отображение X в Y таково, что каждый элементу из множества Y соответствует одному или нескольким элементам множества X, то такое отображение называют отображением множества X на множество Y.

Другими словами, это означает, что область прибытия отображения совпадает с его множеством значений. На графе такого отображения в множестве Y нет свободных элементов (элементов, не участвующих в отображении).

Отображение множества X на множество Y называется взаимно однозначным, если каждому элементу х из множества X соответствует единственный элементу из множества Y, а каждый элементу из множества Y соответствует только одному элемент)' л* из множества X.

Определение. Два множества X и Y называются равномощными, если существует взаимно однозначное отображение множества X на множество Y. Если X равномощно Y, то пишут: X ~ Y.

Определение. Бесконечное множество X называют счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел, т.е. X ~ |

Пример 1. Между элементами множеств X и Y задано соответствие «быть делителем». Установите, является ли оно отображением X в Y, если: а) X = {2, 3, 5, 7}, Y = {15, 28, 37}; б) X = {2, 3, 5, 7}, Y = {15, 21, 30}.

Решение, а) Построим граф данного соответствия (рис. 22). Видим, что каждому элементу множества X соответствует только один элемент из множества Y.

Следовательно, данное соответствие является отображением X в У. Но его нельзя назвать отображением X на Y, поскольку не каждый элемент из множества Y соответствует элементам множества X.

Так, число 37 не соответствует ни одному, элементу из множества X.

б) Так же, как и в предыдущем случае, построим граф заданного соответствия (рис. 23). Видим, что некоторым элементам из множества X соответствует более одного элемента множества Y (например, числу 3 соответствуют числа 15, 21 и 30). Поэтому соответствие «быть делителем» между элементами множеств X и Y не является отображением X в Y.

Пример 2. На рис. 24 приведены графы отображений множества А на множество В. Выясните, какой из них задает взаимно однозначное отображение множества А на множество В.

Решение. Отображение, граф которого изображен на рис. 24 а), не является взаимно однозначным отображением А на В, так как не каждый элемент из множества В соответствует единственному элементу из множества А. Например, элемент п соответствует элементам Ъ и с.

Отображение, граф которого изображен на рис. 24 б) таково, что каждый элемент из множества В соответствует только одному элементу

множества А. Следовательно, имеем взаимно однозначное отображение множества А на множество В.

Пример 3. Пусть X - множество всех треугольников плоскости, У = R - множество всех действительных чисел. Выберем, единицу измерения длин и сопоставим каждому треугольнику число - периметр этого треугольника. Будет ли это соответствие отображением? Каким? Каков полный прообраз числа у е R1

Решение. Каждый треугольник имеет определенный периметр, поэтому каждому треугольнику из множества X сопоставляется при данном соответствии единственное число - его периметр.

Но периметр треугольника - число положительное, поэтому множество значений этого отображения состоит из всех положительных действительных чисел.

Имеем отображение множества X всех треугольников в множество всех действительных чисел и на множество всех положительных чисел.

Если у - положительное число, то полный прообраз у состоит из всех треугольников, периметр которых равен у. Если у - отрицательное число или нуль, то полный прообразу есть пустое множество.

Пример 4. Докажите, что счетным является: а) множество нечетных натуральных чисел; б) множество целых чисел, делящихся на 3.

Решение, а) Счетным является множество, равномощное множеству натуральных чисел. Следовательно, нужно установить взаимно однозначное отображение множества нечетных натуральных чисел на множество 7V.

Весь материал - в документе.

Отображения

Определение. Соответствие между элементами множеств X и Y называется отображением

X в Y, если каждому элементу х из множества X соответствует только один элемент множества Y. Этот элемент называют образом элемента х при данном отображении.

На графе отображения от каждого элемента, принадлежащего множеству X, отходит только одна стрелка.

Если отображение X в Y таково, что каждый элементу из множества Y соответствует одному или нескольким элементам множества X, то такое отображение называют отображением множества X на множество Y. Другими словами, это означает, что область прибытия отображения совпадает с его множеством значений. На графе такого отображения в множестве Y нет свободных элементов (элементов, не участвующих в отображении).

Отображение множества X на множество Y называется взаимно однозначным, если каждому элементу х из множества X соответствует единственный элементу из множества Y, а каждый элементу из множества Y соответствует только одному элемент)' л* из множества X.

Определение. Два множества X и Y называются равномощными, если существует взаимно однозначное отображение множества X на множество Y. Если X равномощно Y, то пишут: X ~ Y.

Определение. Бесконечное множество X называют счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел, т.е. X ~ |

Пример 1. Между элементами множеств X и Y задано соответствие «быть делителем». Установите, является ли оно отображением X в Y, если: а) X = {2, 3, 5, 7}, Y = {15, 28, 37}; б) X = {2, 3, 5, 7}, Y = {15, 21, 30}.

Решение, а) Построим граф данного соответствия (рис. 22). Видим, что каждому элементу множества X соответствует только один элемент из множества Y. Следовательно, данное соответствие является отображением X в У. Но его нельзя назвать отображением X на Y, поскольку не каждый элемент из множества Y соответствует элементам множества X. Так, число 37 не соответствует ни одному, элементу из множества X.

б) Так же, как и в предыдущем случае, построим граф заданного соответствия (рис. 23). Видим, что некоторым элементам из множества X соответствует более одного элемента множества Y (например, числу 3 соответствуют числа 15, 21 и 30). Поэтому соответствие «быть делителем» между элементами множеств X и Y не является отображением X в Y.

Решение. Отображение, граф которого изображен на рис. 24 а), не является взаимно однозначным отображением А на В, так как не каждый элемент из множества В соответствует единственному элементу из множества А. Например, элемент п соответствует элементам Ъ и с.

Отображение, граф которого изображен на рис. 24 б) таково, что каждый элемент из множества В соответствует только одному элементу

множества А. Следовательно, имеем взаимно однозначное отображение множества А на множество В. . •

Пример 3. Пусть X - множество всех треугольников плоскости, У = R - множество всех действительных чисел. Выберем, единицу измерения длин и сопоставим каждому треугольнику число - периметр этого треугольника. Будет ли это соответствие отображением? Каким? Каков полный прообраз числа у е R1

Решение. Каждый треугольник имеет определенный периметр, поэтому каждому треугольнику из множества X сопоставляется при данном соответствии единственное число - его периметр. Но периметр треугольника - число положительное, поэтому множество значений этого отображения состоит из всех положительных действительных чисел. Имеем отображение множества X всех треугольников в множество всех действительных чисел и на множество всех положительных чисел.

Если у - положительное число, то полный прообраз у состоит из всех треугольников, периметр которых равен у. Если у - отрицательное число или нуль, то полный прообразу есть пустое множество.

Пример 4. Докажите, что счетным является: а) множество нечетных натуральных чисел; б) множество целых чисел, делящихся на 3.

Решение, а) Счетным является множество, равномощное множеству натуральных чисел. Следовательно, нужно установить взаимно однозначное отображение множества нечетных натуральных чисел на множество 7V. Это можнй сделать с помощью формулы у - 2п - 1, п е N. Действительно, возьмем любое натуральное число, например, 5. Подставим его в формулу и найдем соответствующее ему нечетное число у = 9. Теперь возьмем произвольно нечетное число, например, 23. Подставив его в формулу вместо у и решив уравнение 23 = 2п - 1, получим, что нечетному числу 23 соответствует натуральное число 12. Взаимно однозначное отображение множества нечетных натуральных чисел на множество N установлено, значит, множество нечетных чисел счетно.

б) Взаимно однозначное отображение множества целых чисел, деля­щихся на 3, на множество N можно установить так, как показано на рис. 25.