Материал по математике "Отображение плоскости на себя"

Каждой точке плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке.

Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя .

Осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Центральная симметрия также представляет собой отображение плоскости на себя.

Теорема №1

При движении отрезок отображается на отрезок.

Теорема №1

Дано: отрезок MN.

Доказать: 1. MN отображается при заданном движение M1N1; 2. P отображается в P1

Доказательство

I. 1) MP+PN=MN(из условия)

2) т.к. при движение расстояние сохраняется =>M1N1=MN, M1P1=MP и N1P1=NP (1)

=>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1 Принадлежит M1N1 =>точки MN отображается в отрезке M1N1

II. Пусть P1 произвольная точка M1N1, а точка P при заданном движении отображается в P1

Из соотношения равенства (1) и M1N1= M1P1+P1N1=>MP+PN=MN=>Pпринадлежит MN.

Следствие

Из теоремы №1 следует, что при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок => треугольник отображается на треугольник с равными сторонами, т.е. на равный треугольник при движении.

Из теоремы №1 следует, что при движении:

1) прямая отображается на прямую;

2) луч- на луч;

3) угол- на равный ему угол.

Наложения и движения

Фигура Ф равна фигуре Ф1, если фигуру Ф можно совместить с фигурой Ф1. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1.

При этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определенную точку плоскости, т. е. наложение – это отображение плоскости на себя.

Наложения – это такие отображения плоскости на себя, которые обладают, свойствами выраженными в аксиомах.

Они позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при решении задач

Теорема №2

При наложение различных точки отображаются в различные точки.

Доказательство

Предположим, что это не так, т.е. при некотором положении какие-то точки A и B отображаются, в Ф2=Ф1,т.е.при некотором наложении Ф2 отображается в Ф1.

Но это невозможно, т.к. наложение-это отображение, а при любом отображении, С становится в соответствие только одна точка плоскости =>при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок.

Пусть при наложении концы A и В отрезка АВ отображаются в А1 и В1. Тогда, АВ отображается на А1 В1 => АВ=А1В1.

Т.к равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние, т.е. любое наложение является движением плоскости.

Весь материал - в документе.

Движение

Отображение плоскости на себя

• Каждой точке плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости , причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят ,что дано отображение плоскости на себя .

• Осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

• Центральная симметрия также представляет собой отображение плоскости на себя.

• При движении отрезок отображается на отрезок.

• Дано: отрезок MN.
• Доказать:1.MN отображается при заданном движение M1N1 ;2.P отображается в P1

• I.1)MP+PN=MN(из условия)
• 2)т.к. при движение расстояние сохраняется =M1N1=MN, M1P1=MP и N1P1=NP (1)
• =M1P1 +P1N1= M1N1=P1 ПРИНАДЛЕЖИТ M1N1 =точки MN отображается в отрезке M1N1
• II.Пусть P1 произвольная точка M1N1, а точка P при заданном движении отображается в P1
• Из соотношения равенства (1) и M1N1= M1P1 +P1N1=MP+PN=MN=PпринадлежитMN.

• Из теоремы №1 следует, что при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок = треугольник отображается на треугольник с равными сторонами, т.е.на равный треугольник при движении. Из теоремы №1следует, что при движении:
• 1)прямая отображается на прямую;
• 2)луч- на луч;
• 3)угол- на равный ему угол.

• Фигура Ф равна фигуре Ф1 , если фигуру Ф можно совместить с фигурой Ф1 .Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1.При этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определенную точку плоскости , т. е. наложение – это отображение плоскости на себя.

• При наложение различных точки отображаются в различные точки.

• Предположим, что это не так, т.е. при некотором положении какие-то точки A и B отображаются, в Ф2=Ф1,т.е.при некотором наложении Ф2 отображается в Ф1.Но это невозможно, т.к. наложение-это отображение, а при любом отображении, С становится в соответствие только одна точка плоскости =при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Пусть при наложении концы A и В отрезка АВ отображаются в А1 и В1. Тогда ,АВ отображается на А1 В1 = АВ=А1В1. Т.к равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние, т.е. любое наложение является движением плоскости.

• Любое движение является наложением.

• Дано:g-произвольное движение треугольника ABC отображается в треугольник A1 B1 C1
• f- наложение, при котором точки A,B,C отображаются в A1 B1 C1 .
• Доказать:g совпадает c f.

• Предположим, что g не совпадает с f= на плоскости найдется хотя бы 1-ая точка M, которая при движении g отображается в M1, а при наложении f- в M2. Т.к. при отображениях f и g сохраняется расстояние, то AM=A1M1, AM=A1M2 ,т.е. точка A1 равноудалена от M1 и M2=A1,B1 и C1 лежат на серединном перпендикуляре к M1 M2.Но это невозможно, т.к. вершины треугольника A1B1C1 не лежат на одной прямой.Таким образом g совпадает f,т.е. движение g является наложением.

• При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

• Пусть а – данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя , при котором каждая точка М отображается в такую точку М1,что вектор ММ1 равен вектору а