Получите свидетельство
Вход
ОСНОВЫ КУРСА МАТЕМАТИКИ
Сборник самостоятельных и контрольных работ
Ташкент 2024
Пособие предназначено для студентов Академических Лицеев по направлению точные науки.
Составитель Хаджибаева И.И.
Авторская публикация включает в себя 5 разделов
Общие понятия курса математики. Множества и подмножества.
Целые неотрицательные числа.
Расширение понятия числа.
Функции. Уравнения. Неравенства.
Элементы геометрии.
В данном курсе рассматриваются различные подходы к определению понятия натурального числа, нуля и действий над ними, аксиоматический способ построения системы натуральных чисел, вводится определение понятия величины и её измерения, основы построения непозиционных и позиционных систем счисления, алгоритмы действий в десятичной системе счисления, определение и свойства отношения делимости, основные признаки делимости, элементы алгебры и геометрии.
Предлагаемый сборник содержит самостоятельные и контрольные работы по двум разделам:
Общие понятия курса математики.
Целые неотрицательные числа.
Для удобства пользования пособием перед каждой самостоятельной и контрольной работами приводится краткое содержание конкретной темы.
Материалы пособия могут быть использованы преподавателем на практических занятиях с целью проведения обучающих самостоятельных работ и осуществления контроля знаний и умений студентов в рамках балльно- рейтинговой системы обучения.
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ
Тема 1. Множества и операции над ними
Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество. Примеры конечных и бесконечных множеств. Способы задания множеств. Равные множества. Подмножество. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
Пересечение и объединение множеств, разность двух множеств, дополнение до универсального. Декартово произведение множеств. Законы операций над множествами.
Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Разбиение множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств.
Задание 1. Дано множество С={-4
5 -3; 0;
8;
1 ; 8,3; 9; 12}.
6
Выделите его подмножество, элементами которого являются: а) натуральные числа;
б) целые числа;
в) четные натуральные числа;
г) целые неотрицательные числа; д) целые числа, кратные 3;
е) положительные числа.
Задание 2. Известно, что D – множество деревьев в саду, F – множество фруктовых деревьев в этом саду, K – множество яблонь в этом саду. Установите, каковы отношения между парами этих множеств, если все они непусты. Изобразите множества D, F, K при помощи кругов Эйлера.
Задание 3. Даны множества А={a,b,c,d} и В={a,d,r,l,m}. Найдите
множества A B , A B , А\В, В\А.
Задание 4. Перечислите элементы декартова произведения множеств А={1,3,5} и В={2,4,6,8}.
Задание 5. Даны множества: Х – двузначных чисел, Y – четных натуральных чисел, Р – натуральных чисел, кратных 4.
а) укажите характеристическое свойство элементов каждого из множеств А
и В, если А=X Y P, В=Х (Y P).
б) изобразите множества, X,Y,P при помощи кругов Эйлера и покажите области, представляющие множества А и В (для каждого случая выполните отдельный рисунок).
Задание 6. А – множество натуральных чисел, кратных 7, В – множество натуральных чисел, кратных 3, С – множество четных натуральных чисел. Из каких чисел состоят множества:
а) A B \ C ; в) A C \ B ;
б) A B \ C ; г) C B \ A;
Задание 7. Изобразите на координатной плоскости элементы множества X*Y, если
а) Х={x | x ЄN, 3 x 6}, Y={y | y ЄN,
б) X={x | x ЄN, 3 x 6 }, Y={y | y ЄN,
2 y 4 };
3 y 6 }.
Задание 8. Разбейте множество D={0,2,5,4,7,8,12,15} на четыре попарно- непересекающиеся множества.
Задание 9. Докажите, что для любых множеств А, В и С верно равенство
A \ (B C) (A \ B) (A \ C) .
Задание 10. Изобразите следующие множества геометрически:
A B,
A B,
А\В, В\А,
A B,
A B,
A B,
A B,
если А=(1;3], В=[-2;2).
Задание 11. Из 170 спортсменов 70 занимаются футболом, 95 – хоккеем и 80 – теннисом. 30 занимаются и футболом, и хоккеем, 35 – и футболом, и теннисом, 15 – и хоккеем, и теннисом. 5 занимаются всеми 3 видами спорта. Сколько занимаются ровно 1 видом спорта?
Задание 1. Изобразите следующие множества геометрически:
а) A B, б) A B, в) A \ B, г) B \ A, д) A B, е) A B, ж) A B, з) A B,
если А=1;3, В=1;2.
Задание 2. Проверьте равенства множеств, используя круги Эйлера:
A \ B A B\ B .
Задание 3. Из 1000 студентов, занимающихся естественными науками, 630 посещают спецкурс по биологии, 390 – по химии и 720 – по математике. 440 посещают и математику, и биологию, 250 – и математику, и химию, и 200 – и биологию, и химию. 130 студентов посещают лекции по всем предметам. Сколько из 1000 студентов не посещают ни математики, ни биологии, ни химии?
Вариант 2
Задание 1. Изобразите следующие множества геометрически:
а) A B, б) A B, в) A \ B, г) B \ A, д) A B, е) A B, ж) A B, з) A B,
если А=0;5, В= 2;1.
Задание 2. Проверьте равенства множеств, используя круги Эйлера:
A \ B A \ A B.
Задание 3. Из 170 спортсменов 70 занимаются футболом, 95 – хоккеем и 80 – теннисом. 30 занимаются и футболом, и хоккеем, 35 – и футболом, и теннисом, 15 – и хоккеем, и теннисом. 5 занимаются всеми 3 видами спорта. Сколько занимаются ровно 2 видами спорта?
Задание 1. Изобразите следующие множества геометрически:
а) A B, б) A B, в) A \ B, г) B \ A, д) A B, е) A B, ж) A B, з) A B,
если А= 2;3, В=1;5.
Задание 2. Проверьте равенства множеств, используя круги Эйлера:
B \ A A B\ A
Задание 3. Из 100 студентов изучают языки: испанский – 28, немецкий – 30, французский – 42, испанский и немецкий – 8, испанский и французский
– 10, немецкий и французский – 5, все 3 языка – 3. Сколько студентов не изучает ни одного языка?
множестве
Соответствия между элементами множеств. Способы задания соответствий. Граф и график соответствия. Взаимно однозначное отображение множества на множество. Равномощные множества.
Понятие отношения на множестве. Свойства отношений. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Отношение порядка.
Самостоятельная работа № 2
Задание 1. Покажите, что бинарное отношение R, заданное на множестве А, является отношением эквивалентности. Найдите классы эквивалентности, порожденные элементом a=3 и b=4.
A={1,2,3,4}, R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,2),(2,4),(1,3),(3,1)}
Задание 2. Является ли R отношением порядка на множестве А? Если да, то выясните его вид.
А={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)}
Задание 3. Даны множества: Х{4,10}, Y={6,12}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а)
«больше», б) «меньше», в) «меньше на 2», г) «меньше в 3 раза»?
Задание 4. Между множествами Х={2,4,6,8} и Y=Z задано соответствие
«x–y=4», причем x Є Х, y Є Y. Постройте график данного соответствия.
Задание 5. Между множествами Х – углов треугольника АВС и множеством Y – его сторон задано соответствие Т – «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т 1 , обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.
Задание 6. Соответствие «число x на 1 меньше числа у» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если:
а) X={2,4,6,8}, Y=N;
б) X={2,8}, Y=R; в) X=Y=R.
Задание 1. Покажите, что бинарное отношение R, заданное на множестве А, является отношением эквивалентности. Найдите классы эквивалентности, порожденные элементами а и в.
A 1,2,3,4, R (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)
а=4, в=1.
Задание 2. Является ли R отношением порядка на множества А? Если да, то выясните его вид.
A 1,2,3,4, R (1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,4)
Задание 3. Соответствие «число x в три раза больше числа y» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если: а) X=3,6,9,12, Y=N
б) X=3,12, Y=R в) X=Y=R.
Задание 4. Множества Х={1,3,4,5} и Y={1,2} находятся в соответствии S={(1,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2)}.
Задайте соответствие S 1 , обратное соответствию S и постройте на одном чертеже их графики.
Задание 1. Покажите, что бинарное отношение R, заданное на множестве А, является отношением эквивалентности. Найдите классы эквивалентности, порожденные элементами а и в.
А={1,2,3,4,}, R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(1,4),(4,1)}, а=3, в=2.
Задание 2. Является ли R отношением порядка на множестве А? Если да, то выясните его вид.
А={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(3,4)}.
Задание 3. Соответствие «число x в два раза меньше числа y» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если: а) X={1,2,3,4}, Y=N
б) X=1;4, Y=R
в) X=Y=R.
Задание 4. Множества X={0,1,3,5} и Y={0,2} находятся в соответствии S={(0,0),(1,0),(3,2),(5,2)}. Задайте соответствие S 1 , обратное соответствию S и постройте на одном чертеже их графики.
Задание 1. Покажите, что бинарное отношение R, заданное на множестве А, является отношением эквивалентности. Найдите классы эквивалентности, порожденные элементами а и в.
А={1,2,3,4}, R={( 1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(4,3),(3,4)} а=1, в=4
Задание 2. Является ли R отношением порядка на множестве А? Если да, то выясните его вид.
А={1,2,3,4}, R={(1,1)(1,2)(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}.
Задание 3. Соответствие «число x в три раза меньше числа y» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если: а) X= {1,2,3}, Y=N
б) X=[1;3], Y=R в) X=Y=R.
Задание 4. Множества X={4,5,6,7} и Y={1,2} находятся в соответствии
{(4,1),(5,1),(6,2),(7,2)}. Задайте соответствие S 1 , обратное соответствию S и постройте на одном чертеже их графики.
Математический объект, существенные и несущественные свойства объекта. Математическое понятие, объем и содержание понятия. Способы определения понятий. Структура определения через род и видовое отличие. Контекстуальные и остенсивные определения.
Понятие высказываний и высказывательной формы. Операции над высказываниями и высказывательными формами. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм. Отношения следования и равносильности между предложениями. Необходимые и достаточные условия. Структура теоремы. Виды теорем.
Задание 1. Изобразите отношения между объемами следующих понятий на кругах Эйлера:
а) a : «целое число», b : «натуральное число», c : «отрицательное число», d
: «целое неотрицательное число»;
б) a : «дерево», b : «кустарник», c : «растение»;
в) a : «квадрат», b : «ромб с прямым углом», c : «прямоугольник».
Задание 2. Перечислите свойства, входящие в содержание следующих понятий: а) «ромб», б) «прямоугольник», в) «трапеция».
Задание 3. Дайте определение следующих понятий: а) четырехугольник, б) ромб, в) равнобедренный треугольник, г) трапеция. Выделите в каждом определении родовое понятие и видовое отличие и выявите логическую структуру видового отличия.
Задание 4. Выясните, в каких из нижеприведенных случаев истинно высказывание «b есть обобщение понятия a»:
а) a : «отрезок», b : «прямая»; б) a : «луч», b : «прямая»; в) a : «птица», b :
«животное»; г) a : «окружность», b : «круг»; д) a : «прямоугольник», b :
«параллелограмм».
Задание 5. Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата. Выясните, какое из высказываний истинно: « Всякое свойство прямоугольника присуще квадрату», «Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику». В каком отношении находится их объемы понятий?
Задание 6. Укажите три понятия, являющиеся родовым по отношению к понятию «прямоугольник». Какое из них является ближайшим?
Задание 7. Назовите свойства: а) присущие прямоугольнику и ромбу, б) присущие прямоугольнику и не присущие ромбу, в) присущие ромбу и не присущие прямоугольнику.
Задание 8. Среди следующих предложений укажите высказывания или предикаты и поясните свой ответ: а) 12 – натуральное число; б) 2•7=15; в) x=11 является решением неравенства 2x – 1 5; в) x – 3 = 7; г) прямые параллельны; д) какой сегодня день недели?
Задание 9. На множестве N задан предикат C (x): «число x – делитель 12». Сформулируйте высказывание С (3), С (4), С (8) и найдите множество истинности данного предиката.
Задание 10. На множестве Z заданы предикаты А (х): «х ≥ 15» и В (х) : «х
высказывания А (12)^ В (12); А (15)^ В (15); А (40)^ В (40) и найдите значения их истинности; в) Верно ли, что 25 Є Т А^В ? 7 Є Т А^В ?
Задание 11. На множестве Х = { 0,2,4,6,8,10,12,14,16 } заданы предикаты В (х) : «х кратно 4» и D (х): « х – делитель 4». Докажите, что предикаты В (х) и D (х) не являются отрицаниями друг друга на множестве Х.
Задание 12. На множестве М = { 1,2,3,…,20 } заданы предикаты А (х) : «х не делится на 5»; В (х): « х – четное число»; С (х): « х – простое число»; D (х): «число х кратно 3». Найдите множество истинности следующих предикатов:
|
а) А (х) ^ В (х) v C (х); |
в) В (х) v D (х) v C (х) |
|
б) С (х) ^ D (х) ^ В (х); |
г) В (х) v D (х) ^ А(х) |
Задание 13. На множестве Х = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } заданы предикаты А (х): «х делится на 4» и В (х): «х делится на 2».
а) Найдите значение истинности предикатов А (х) и В (х).
в) На основании полученных ответов выясните, истинно ли высказывание А (х) = В (х).
г) Можно ли утверждать, что истинно высказывание В (х) = А (х)?
Задание 14. Найдите множество истинности предикатов А (х): «х делится на 3» и В (х): «сумма цифр в записи числа х делится на 3», заданных на множестве Х = { 3,5,7,8,9,11,12,13,18,20,21,24,27,30 }, и выясните в каком отношении они находятся. Будут ли предикаты А (х) и В (х) равносильны на множестве Х?
Задание 15. Вместо многоточия вставьте термины «необходимо»,
«достаточно», «необходимо и достаточно»:
а) для того, чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 20,
…………, чтобы хотя бы одно из слагаемых было больше 10;
б) для того, чтобы разность двух чисел была четной, ……………, чтобы оба компонента вычитания были четными;
в) для того, чтобы сумма двух чисел делилась на 5, ………….., чтобы каждое слагаемое делилось на 5.
Задание 16. Сформулируйте предложения обратные, противоположные и обратные противоположным следующим теоремам:
а) Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
в) Если треугольник является равнобедренным, то его углы при основании равны.
г) Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма – четное число.
Какие из этих предложений – теоремы? Выделите условие и заключение в каждой из теорем.
Задание 1. Доказать равносильность формул
А(А v В) ≡ А v (А=В) ^ А v В.
Задание 2. На конечном множестве X={1,2,3,…,20} заданы предикаты: А(х): «х делится на 2», В(х): «х делится на 5». Найти область истинности составного предиката. Сформулировать предикат в виде утверждения.
А(х) ^ B(x)
Задание 3. На множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х). Запишите символически данное утверждение С. Сформулируйте отрицания высказываний А(х) и В(х) и установите, что истинно: сами высказывания или их отрицания.
Х – множество животных, А(х): «х живет в воде», В(х): «х живет на суше», С: «Все живые существа живут на суше или в воде».
Задание 4. Выделите в теореме условие и заключение. Образуйте обратное, противоположное и обратное противоположному высказывания. Какие из них истинны?
Теорема: «Если каждое из двух чисел делится на 3, то их сумма делится на 3».
Вариант 2 Задание 1. Доказать равносильность формул
_
А ^ (A=В) v (A B) ≡ А=В
Задание 2. На конечном множестве X={1,2,3,…,20} заданы предикаты: А(х): «х делится на 2», С(х): «х делится на 3». Найти область истинности составного предиката. Сформулировать предикат в виде утверждения.
А(х) ^ С(x)
Задание 3. На множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х). Запишите символически данное утверждение С. Сформулируйте отрицания высказываний А(х) и В(х) и установите, что истинно: сами высказывания или их отрицания.
Х – множество людей, А(х): «х – женщина», В(х): «х – мужчина», С: «Все люди мужчины или женщины».
Задание 4. Выделите в теореме условие и заключение. Образуйте обратное, противоположное и обратное противоположному высказывания. Какие из них истинны?
Теорема: «Сумма смежных углов равна 180º ».
Вариант 3 Задание 1. Доказать равносильность формул
_ _ _
B ^ (B = А v В ) ≡ B A ^ B
Задание 2. На конечном множестве X={1,2,3,…,20} заданы предикаты: А(х): «х делится на 2», С(х): «х делится на 3». Найти область истинности составного предиката. Сформулировать предикат в виде утверждения.
А(х) v С(x)
Задание 3. На множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х). Запишите символически данное утверждение С. Сформулируйте отрицания высказываний
х А(х) и х В(х) и установите, что истинно: сами высказывания или их отрицания.
Х – множество людей, А(х): «х умеет танцевать», В(х): «х умеет петь», С:
«Некоторые люди умеют петь и танцевать».
Задание 4. Выделите в теореме условие и заключение. Образуйте обратное, противоположное и обратное противоположному высказывания. Какие из них истинны?
Теорема: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».
Умозаключение, посылка и заключение. Виды умозаключений (дедуктивные умозаключения, неполная и полная индукция, рассуждение по аналогии). Схемы дедуктивных умозаключений (правило заключения, правило отрицания, правило силлогизма).
Способы математического доказательства. Прямые и косвенные доказательства. Метод от противного.
Задание 1. Запишите схемы дедуктивных умозаключений.
Задание 2. Среди нижеприведенных умозаключений укажите те, которые построены по правилу: а) заключения, б) отрицания, в) силлогизма.
а) Все студенты нашей группы приняли участие в субботнике. Сидорова учится в нашей группе. Значит, она принимала участие в субботнике.
б) Если студент справился с контрольной работой по математике, то он будет допущен к экзамену. Петрова не допущена к экзамену по математике. Следовательно, она не справилась с контрольной работой.
в) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная; если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.
г) В любом квадрате диагонали взаимно перпендикулярны. В четырехугольнике ABCD диагонали не перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник ABCD не квадрат.
д) Все квадраты являются прямоугольниками. Во всех прямоугольниках диагонали равны. Следовательно, в любом квадрате диагонали равны.
Задание 3. Изобразите следующие высказывания с помощью кругов Эйлера:
а) Некоторые студенты нашей группы – отличники. б) Треугольник АВС прямоугольный.
в) Число 3,2 не является натуральным.
г) Ни одно число, запись которого оканчивается цифрой 1, не делится на 4. д) Если число делится на 6, то оно делится на 2.
Задание 4. Закончите умозаключение, используя правило заключения: а) Все числа, делящиеся на 2, являются четными. Число 18 – …
б) Все имена собственные пишутся с большой буквы. Слово «Казань» – … в) Все студенты 2 курса педагогического факультета поедут в летние оздоровительные лагеря. Иванова – …
Задание 5. Восстановите пропущенную посылку в каждом из нижеприведенных умозаключений:
а) Треугольник АВС равнобедренный. Следовательно, в треугольнике АВС есть хотя бы две равные стороны.
б) Если числитель дроби больше знаменателя или равен ему, то дробь неправильная. Следовательно, у дроби 7/8 числитель меньше знаменателя. в) 25 и 37 – натуральные числа. Следовательно, 25+37=37+25.
Задание 6. Приведите примеры умозаключений, выполняемых по правилам заключения, отрицания, силлогизма.
Контрольная работа № 4 Вариант 1Задание 1. Проанализируйте схему каждого умозаключения. Являются ли они дедуктивными?
а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Треугольник АВС – равнобедренный. Следовательно, его углы при основании равны.
б) Если число делится на 10, то оно делится на 5. Число 155 делится на 5. Следовательно, число 155 делится на 10.
в) Все студенты нашей группы в субботу ходили в театр. Петров не был в театре. Следовательно, Петров – студент не нашей группы.
г) Если число х кратно 16, то оно кратно 8. Если число х кратно 8, то оно кратно 4. Следовательно, если число х кратно 16, то оно кратно 4.
Задание 2. Изобразите следующие высказывания с помощью кругов Эйлера.
а) Все многоугольники являются геометрическими фигурами. б) Некоторые четные числа делятся на 5.
Задание 3. Проверьте с помощью кругов Эйлера правильность следующих умозаключений.
а) Все деревья являются растениями. Мимоза – растение. Следовательно, мимоза – дерево.
б) Все натуральные числа являются целыми числами. Все целые числа являются рациональными числами. Следовательно, все натуральные числа
- рациональные.
Задание 4. Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что: а) 235 делится на 5;
б) 521 не делится на 5;
в) треугольник АВС – равнобедренный;
г) треугольник АВС не является равнобедренным.
Задание 1. Проанализируйте схему каждого умозаключения. Являются ли они дедуктивными?
а) Если запись числа оканчивается нулем, то число делится на 5. Запись числа 245 не оканчивается нулем. Следовательно, число 245 не делится на 5.
б) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Треугольник АВС – равнобедренный. Следовательно, его биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
в) Если число х кратно 18, то оно кратно 9. Если число х кратно 9, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 18, то оно кратно 3.
г) Все деревья являются растениями. Липа – дерево. Следовательно, липа - растение.
Задание 2. Изобразите следующие высказывания с помощью кругов Эйлера.
а) Некоторые четные числа делятся на 3.
б) Все студенты нашей группы старше 18 лет.
Задание 3. Проверьте с помощью кругов Эйлера правильность следующих умозаключений.
а) Если углы вертикальные, то они равны. Углы АВС и ЕРК не вертикальные. Следовательно, углы АВС и ЕРК не равны.
б) Все студенты нашей группы участвовали в празднике. Петрова – студентка нашей группы. Следовательно, она принимала участие в празднике.
Задание 4. Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что: а) 642 делится на 3;
б) 721 не делится на 3;
в) параллелограмм АВСD является ромбом;
г) параллелограмм АВСD не является ромбом.
Задание 1. Проанализируйте схему каждого умозаключения. Являются ли они дедуктивными?
а) Вертикальные углы равны. Углы АВС и ЕВК – вертикальные. Следовательно, угол АВС равен углу ЕВК.
б) Если число делится на 9, то оно делится на 3. Число 154 не делится на 3. Следовательно, число 154 не делится на 9.
в) Если число х кратно 12, то оно кратно 4. Если число х кратно 4, то оно кратно 2. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 2.
г) Все кустарники являются растениями. Роза – растение. Следовательно, роза – кустарник.
Задание 2. Изобразите следующие высказывания с помощью кругов Эйлера.
а) Некоторые студенты нашего факультета занимаются спортом. б) Число 63,5 не является целым.
Задание 3. Проверьте с помощью кругов Эйлера правильность следующих умозаключений.
а) Все студенты нашей группы сдали экзамен по математике. Сидоров сдал экзамен по математике. Следовательно, Сидоров – студент нашей группы. б) Если углы вертикальные, то они равны. Углы АВС и МРК не являются равными. Следовательно, углы АВС и МРК не вертикальные.
Задание 4. Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что: а) 420 делится на 10;
б) 521 не делится на 10;
в) треугольник АВС – равносторонний;
г) треугольник АВС не является равносторонним.
Тема 5. Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Правила суммы и произведения. Размещения, перестановки с повто- рениями и без повторений. Сочетания без повторений. Число подмножеств конечного множества. Бином Ньютона.
События и вероятность. Понятие вероятности. Невозможные и достоверные события. Понятия суммы и произведения событий. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности. Полная вероятность. Формула Бейеса. Схема испытаний Бернулли.
Задание 1. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 6,2 и 1 при условии, что они в записи числа не повторяются?
Задание 2. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3,2 и 1?
Задание 3. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 5?
Задание 4. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0,1,2,3,4,5, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?
Задание 5. Образовать из различных элементов множества Х все возможные кортежи длины L и подмножества, состоящие из K элементов. X = {l, m, n}, l=1, K=2.
Задание 6. В финальном забеге по легкой атлетике участвуют спортсмены
9 стран. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между спринтерами?
Задание 1. В спортивной секции занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?
Задание 2. Образовать из различных элементов множества X все возможные кортежи длины L и подмножества, состоящие из K элементов, если
X={a,b,c,d}, L=1, K=2.
Задание 3. Бросили один раз два игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих гранях кубика в сумме выпадет 7 очков?
Задание 1. Из группы, насчитывающей 25 человек, выбирают троих для поездки на соревнование. Сколькими способами это может быть сделано?
Задание 2. Образовать из различных элементов множества X все возможные кортежи длины L и подмножества, состоящие из K элементов, если
X={a,b,c}, L=2, K=3
Задание 3. Все буквы русского алфавита написаны на 33 одинаковых карточках. Какова вероятность того, что написанная на карточке буква окажется гласной, если карточка извлекается наудачу?
Задание 1. Сколько треугольников можно построить, используя 8 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой) в качестве вершин?
Задание 2. Образовать из различных элементов множества X все возможные кортежи длины L и подмножества, состоящее из K элементов, если
X={a,b,c}, L=3, K=1.
Задание 3. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 включительно является делителем числа 30?
РАЗДЕЛ 2. ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Тема 1. Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел
Краткие сведения о возникновении понятия натурального числа и нуля.
Понятие об аксиоматическом способе построения теории. Аксиомы Пеано. Определение натурального числа, сложения и умножения натуральных чисел. Таблицы сложения и умножения.
Определения вычитания и деления натуральных чисел. Множество целых неотрицательных чисел. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком.
Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.
Метод математической индукции.
Задание 1. Объясните, в чем заключается суть аксиоматического метода построения математической теории.
Задание 2. Назовите основные понятия школьного курса стереометрии. Запишите несколько аксиом из этого курса. Свойства каких понятий в них описываются?
Задание 3. Дайте определение ромба, выбрав в качестве родового понятие
«параллелограмм». Запишите три понятия, которые в курсе геометрии должны предшествовать понятию «параллелограмм».
Задание 4. Запишите аксиомы Пеано (аксиомы 1-4).
а) Можно ли аксиому 3 сформулировать в виде: «Для каждого элемента a из N существует единственный элемент, за которым непосредственно следует a? Ответ поясните.
б) Выделите условие и заключение в аксиоме 4, запишите их, используя символы є, =.
в) Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества N, …».
Задание 5. Покажите, что натуральный ряд чисел является моделью аксиом Пеано.
Задание 6. Используя аксиоматические определения сложения, вычитания, умножения, деления целых неотрицательных чисел, показать, что 6+3=9, 9-6=3, 5•3=15, 15:3=5
Задание 7. Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство:
а) 1 +
2 * 3
1 +
3 * 4
1 +…+
4 * 5
1 =
(n 1)(n 2)
n ;
2(n 2)
б)1•4+2•7+3•10+…+n(3n+1)=n(n+1) 2 .
Задание 8. Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n справедлива делимость:
а) (9 n 1 - 8n - 9) : 16 ;
б) (4 n + 15n + 8) : 9 .
Задание 1. Используя аксиоматические определения сложения, вычитания, умножения, деления целых неотрицательных чисел, показать, что
5+4=9, 9-4=5, 6•2=12, 12:2=6.
Задание 2. Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство:
3 + 5 +
4 3 * 6
1 +…+
144
2n 1
n2 (n 1)2
=1-
1 .
(n 1)2
Задание 3. Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n справедлива делимость:
(27 n - 26n - 1): 169 .
Задание 1. Используя аксиоматические определения сложения, вычитания, умножения, деления целых неотрицательных чисел, показать, что
5+3=8, 8-3=5, 3•4=12, 12:4=3.
Задание 2. Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство:
1+3 2 +5 2 +…+(2n-1) 2 = n(2n 1)(2n 1) .
3
Задание 3. Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n справедлива делимость:
(4 n + 15n - 1) : 9 .
Задание 1. Используя аксиоматические определения сложения, вычитания, умножения, деления целых неотрицательных чисел, показать, что
7+3=10, 10-3=7, 4•3=12, 12:3=4.
Задание 2. Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство:
1+3+5+10+…+ n(n 1) = n(n 1)(n 2) .
2 6
Задание 3. Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n справедлива делимость:
(4*6 n + 5n - 4) : 5 .
Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше».
Теоретико-множественный смысл суммы, разности, произведения и частного натуральных чисел.
Задание 1. Найдите n (A), n (B), n ( A B, ), n (A B ), n (B ! )если:
A
а) А={a,b,c,d,e,f,k}, В={e,d,k},
б) А={a,b,c,d,e,f,k}, В={a,b,c,d,e,f,k}, в) А={a,b,c,d,e,f,k}, В=Ǿ.
Задание 2. Запишите коммутативный и ассоциативный законы сложения целых неотрицательных чисел и дайте их истолкование с теоретико- множественных позиций.
Задание 3. Найдите значения выражений рациональным способом и объясните, какие законы сложения при этом использовались?
а) (57+68+89)+(32+11+43);
б) 38+89+32+11;
в) 3057+1561+829+1513.
Задание 4. Запишите коммутативный и ассоциативный законы умножения целых неотрицательных чисел и дайте их истолкование с теоретико- множественных позиций.
Задание 5. Вычислите значение выражения, используя дистрибутивный закон умножения относительно сложения:
а) 9•13+9•87; б) 5•(12+44); в) 62•103.
Задание 6. Используя теоретико-множественные определения сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел, показать, что
6+3=9, 9-3=6, 5•3=15, 15:3=5.
Задание 7. Обоснуйте выбор действия при решении следующих задач:
а) Несколько девочек участвовали в танце. Три из них были в белых юбочках и четыре – в синих. Сколько девочек участвовало в танце?
б) У Коли было 5 марок, а у Феди – на 3 марки больше. Сколько марок было у Феди?
в) На тарелке лежало 5 яблок. Их было на 3 меньше, чем груш. Сколько груш лежало на тарелке?
д) У Саши было 10 книг. Две книги он подарил товарищу. Сколько книг осталось у Саши?
Задание 1. Используя теоретико-множественные определения сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел, показать, что
7+2=9, 9-2=7, 2•6=12, 12:6=2.
Задание 2. Обоснуйте выбор действий при решении задач:
а) Оля собрала грибы: три белых и два подосиновика. Сколько грибов собрала Оля?
б) На станцию прибыло 7 вагонов с углем. 3 вагона разгрузили. Сколько вагонов осталось разгрузить?
в) Для урока труда девочка принесла 6 листов красной бумаги, это в 2 раза меньше, чем зеленой. Сколько листов зеленой бумаги принесла девочка?
г) 6 кусков сахара разложили в стаканы с чаем, по 2 куска в каждый. На сколько стаканов хватило сахара?
Задание 3. В множестве К содержится 12, в множестве М – 15, в множестве Р – 32 элемента. Множества К и М не пересекаются и множество М является подмножеством Р. Найдите: а) n ( К М , ), б) n (М Р ), в) n (М р ! ), г) n (K×P).
Задание 1. Используя теоретико-множественные определения сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел, показать, что
8+3=11, 11-3=8, 5•2=10, 10:2=5.
Задание 2. Обоснуйте выбор действий при решении задач:
а) Из коробки вынули сначала 4 карандаша, а потом 2 карандаша. Сколько всего карандашей вынули из коробки?
б) В зоопарке 6 медведей, а верблюдов на 2 меньше. Сколько верблюдов в зоопарке?
в) Ученица прочитала в первый день 9 страниц, а во второй день – в 2 раза больше, чем в первый. Сколько страниц книги прочитала ученица во второй день?
г) 10 тетрадей раздали 5 ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый?
Задание 3. В множестве К содержится 14, в множестве М – 16, в множестве Р – 35 элемента. Множества К и М не пересекаются и множество М является подмножеством Р. Найдите: а) n ( К М , ), б) n (М Р ), в) n (М р ! ), г) n (K×P).
Задание 1. Используя теоретико-множественные определения сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел, показать, что
7+4=11, 11-4=7, 7•2=14, 14:2=7.
Задание 2. Обоснуйте выбор действий при решении задач:
а) В парке 9 берез. Их на 3 меньше, чем елей. Сколько елей в парке?
б) На нашей улице строят девятиэтажный дом. 5 этажей уже построили. Сколько этажей еще нужно достроить?
в) На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 7 таких пальто?
г) В коробке лежало 8 цветных карандашей, их в 2 раза больше, чем простых. Сколько простых карандашей лежало в коробке?
Задание 3. В множестве К содержится 13, в множестве М – 17, в множестве Р – 33 элемента. Множества К и М не пересекаются и множество М является подмножеством Р. Найдите: а) n ( К М , ), б) n (М Р ), в) n (М р ! ), г) n (K×P).
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины.
Смысл суммы, разности, произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
2
Задание 1. При измерении различных величин получили: 6 см, 6 см , 6 см 3 , 6 г, 6 с. Какие величины измеряли? Что показывает в каждом случае число 6?
Задание 2. Найдите длину отрезка AD в сантиметрах, если известно, что он состоит из отрезков AB, BC, CD и:
а) | AB |=2 см, | BC |= 1 дм, | CD |= 3 см; б) | AB |=2 м, | BC |= 3 дм, | CD |= 30 см.
Задание 3. Начертите ломаную MPT так, чтобы длина отрезка MP равнялась 42 мм, а длина отрезка PT равнялась 56 мм. Измерьте длину отрезка MT. Сколько решений имеет задача?
Задание 4. Сравните величины:
а) 56 мин и
7 ч; в)
10
м и
50
дм;
5
б) 1,5 см и
3 дм; г)
20
5 кг и 1250 г.
4
Задание 4. Запишите стандартные единицы, с помощью которых можно измерить величины, указанные в таблице.
| Длина | Масса | Ширина | Объем | Время | Высота | Количество |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Обоснуйте выбор действия при решении следующих задач:
а) В куске было несколько метров шелка. После того как отрезали 12 м, в куске осталось 18 м. Сколько метров шелка было в куске?
б) Рост мальчика 97 см, а девочки 86 см. На сколько сантиметров мальчик выше девочки?
в) Женщина купила в магазине 3 чашки по 45 руб. за штуку. Сколько денег она заплатила в кассу магазина?
Задание 1. Установите в процессе измерения каких величин были получены следующие результаты:
а) 12,3 м, б)17 мм 3 , в) 140 л, г) 5 кг 300 г, д) 160 т, е) 6 км/ч, ж) 16 р.
Задание 2. Дан единичный отрезок е. Постройте отрезки, длины которых равны
а) 3 е ; б) 0,6 е ; в) 1,75 е.
Задание 3. Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:
а) Когда из ящика взяли 4 кг яблок, то в нем осталось 6 кг. Сколько кг яблок было в ящике первоначально?
б) С первого участка собрали 10 мешков картофеля, а со второго на 3 мешка меньше. Сколько мешков картофеля собрали со второго участка?
в) В одной корзине 5 кг яблок. Сколько кг яблок в трех таких корзинах?
г) На садовом участке посадили 15 кустов смородины по 5 кустов в каждом ряду. Сколько было рядов?
Задание 4. Длина отрезка АВ равна 48 е. Чему будет равна длина этого отрезка, если единицу длины е :
а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 3 раза.
Задание 1. Установите в процессе измерения каких величин были получены следующие результаты:
а) 16,5 см, б)285 га, в) 46 м/с, г) 80 м 3 , д) 39 дм 2 , е) 12,5 л, ж) 12 р.
Задание 2. Дан единичный отрезок е. Постройте отрезки, длины которых равны
а) 2 е ; б) 0,7 е ; в) 2,75 е.
Задание 3. Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:
а) На пошив кофты израсходовали 2 м ткани, а на платье на 3 м больше. Сколько метров ткани израсходовали на платье?
б) От ленты длиной 5 м отрезали 2 м. Сколько метров ленты осталось?
в) За один день Саша прочитывает 4 страницы книги. Сколько страниц в книге, если Саша прочитал ее за 6 дней?
г) 8 кг варенья надо разложить в банки по 2 кг в каждую. Сколько получится банок?
Задание 4. Длина отрезка CD равна 24 е. Чему будет равна длина этого отрезка, если единицу длины е :
а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 2 раза.
Понятие системы счисления. Непозиционные и позиционные системы счисления. Запись и название чисел в десятичной системе счисления. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления.
Позиционные системы счисления, отличные от десятичной: запись чисел, арифметические действия, переход от записи чисел в одной системе к записи в другой. Применение двоичной системы счисления.
Техника устного и письменного выполнения арифметических действий над целыми неотрицательными числами.
Задание 1. Запишите в двоичной системе счисления число: а) 29; б) 50; в) 140.
Задание 2. Запишите в десятичной системе счисления число: а) 347 8 ; б) 111101 2 ; в) 2123 ; г) 4325
Задание 3. Запишите в восьмеричной системе счисления число: а) 2401 5 ; б) 21013 ; в) 100100 2 .
Задание 4. В какой системе счисления верно равенство: а) 4=10 x ; б) 8=11 x ; в) 9=100 x ?
Задание 5. Сравните числа: а) 7628 и 10435 ; б) 3425 и 101213 .
Задание 6. Выполните сложение: а) 102 2 + 111 2 + 100 2 ; б) 1235 + 1045 ;
в) 7368 + 2528 .
Задание 7. Найдите разность и результат проверьте сложением: а) 306 8 - 2478 ; б) 1010 2 - 111 2 .
Задание 8. Выполните умножение: а) 11 2 • 11 2 ; б) 125 • 135 ; в) 268 • 358 ;
г) 1213 • 223 .
Задание 9. Найдите значение выражения: а) 3012 5 + 23245 - 14135 ; б)
63258 – 4568 +1578 ; в) 768 • 648 - 57 8 • 378 ; г) 232135 : 325 - 1135 • 3.
Задание 10. Решите нижеприведенные задачи, используя запись числа в десятичной системе счисления:
а) Двузначное число оканчивается цифрой 3. Если сумму его цифр умножить на 4, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите двузначное число.
б) В двузначном числе десятков в три раза больше, чем единиц. Если между цифрами этого числа вставить цифру 0, то увеличится на 540. Найдите двузначное число.
Задание 1. Произвести сложение, вычитание, умножение и деление чисел a и b в р-ичной системе счисления: а = 23305, b = 15027, p = 9
Задание 2. Замените следующие суммы краткой записью числа: 2•10 + 7
3•103 + 8•102 + 7
Задание 3. Запишите числа от 0 до 10 в двоичной системе счисления
Задание 4. Выполните деление: 21345 : 125
Задание 5. Запишите в троичной системе счисления 2, 3, 4, 17, 28, 116.
Задание 1. Произвести сложение, вычитание, умножение и деление чисел a и b в р-ичной системе счисления: а = 100104, b = 13446, p = 7
Задание 2. Замените следующие суммы краткой записью числа: 6•102 + 5•10 + 1
8•105 + 7•103 + 6
Задание 3. Запишите числа от 0 до 10 в троичной системе счисления.
Задание 4. Выполните деление: 10223 : 123
Задание 5. Запишите в пятеричной системе счисления 1012, 1113, 2368.
Задание 1. Произвести сложение, вычитание, умножение и деление чисел a и b в р-ичной системе счисления: а = 23116, b = 7058, p = 7
Задание 2. Замените следующие суммы краткой записью числа: 9•103 + 8•102 + 7•10 + 5
1•104 + 6•102
Задание 3. Запишите числа от 0 до 10 в пятеричной системе счисления.
Задание 4. Выполните деление: 10012 : 112
Задание 5. Запишите в двоичной системе счисления 2, 3, 5, 17, 25, 105.
Определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел. Свойства отношения делимости. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25.
Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел.
Наименьшее общее кратное и наибольший делитель чисел, их основные свойства. Признак делимости на составное число.
Основная теорема арифметики. Алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного данных чисел.
Задание 1. Пользуясь определением делителя числа, докажите, что: а) число 9 является делителем числа 72;
б) число 7 не является делителем числа 65.
Задание 2. Является ли число 18: а) делителем числа 90; б) делителем числа 160; в) кратным числа 6; г) кратным числа 54?
Задание 3. Докажите, что а) сумма двух четных чисел есть число четное; б) сумма двух нечетных чисел есть число четное; в) сумма четного числа и нечетного есть число нечетное.
Задание 4. Вместо звездочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, делящееся на 9: а) 179*; б) 54*0; в) 5*31.
Задание 5. М – множество чисел, кратных 3, К – множество чисел, кратных 9. Укажите истинное высказывание: а) М=К; б) М К; в) К М.
Задание 6. Из чисел 199, 267, 389 и 437 выберите простые.
Задание 7. Докажите, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 3.
Задание 8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел, представив их в каноническом виде: а) 144 и 360; б) 351 и 28; в) 80,120 и 280; г) 238, 266, 413 и 329.
Задание 9. Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел: а) 138 и 115; б) 481 и 703; в) 3762 и 4446; г)57599 и 55687.
Задание 10. Среди следующих пар чисел укажите взаимно простые: а) 15 и 9; б) 15 и 17; в) 4 и 9; г) 24 и 72; д) 2800 и 2673.
Задание 1. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное следующих чисел двумя способами: 528, 408
Задание 2. Сократить дробь
17501
11137
Задание 3. Найти числа a и b, если: (a, b) = 18; [a, b] = 648
Задание 4. Простыми или составными являются следующие числа? Найти их каноническое представление: 503, 3577
Задание 1. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное следующих чисел двумя способами: 702, 1248
Задание 2. Сократить дробь:
17127
15051
Задание 3. Найти числа a и b, если: (a, b) = 7; a•b = 1470
Задание 4. Простыми или составными являются следующие числа? Найти их каноническое представление: 509, 3563
Задание 1. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное следующих чисел двумя способами: 1014, 468
Задание 2. Сократить дробь:
13364
15420
Задание 3. Найти числа a и b, если: [a, b] = 810; a + b = 171
Задание 4. Простыми или составными являются следующие числа? Найти их каноническое представление: 521, 3619
Итоговая контрольная работаТема «Множества и операции над ними» Вариант 1
Характеристическое свойство.
Даны множества А, В, С. Найдите множества: а) Х = (А В) С;
б) Y = А \
(В С) .
Изобразите множества А, В, С на кругах Эйлера и выделите области, изображающие множества Х и Y, если:
А = х х 4n, n N;
В = х х 2n -1, n N; С = х х 3n, n N;
Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера. Укажите характеристическое свойство элементов множества: Х = А \ (В С).
Выделите на чертеже область, изображающую множество Х, если: А – множество остроугольных треугольников;
В – множество равнобедренных треугольников; С – множество равносторонних треугольников.
Из множества М выделите три подмножества: А, В, С. Постройте для данных множеств круги Эйлера, установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М. Задайте описанием характеристического свойства элементов каждую область, если: М – множество треугольников;
А – множество равнобедренных треугольников; В – множество равносторонних треугольников;
С – множество треугольников, имеющих угол 60 градусов.
Изобразите геометрически следующие множества на числовой оси:
А В, А \ В, А В,
В \ А,
А В, если А = [-1; 5) , В = (-2; 3].
Декартово произведение множеств.
Даны множества А, В, С. Найдите множества: а) Х = (А В) С;
б) Y = А \
(В С) .
Изобразите множества А, В, С на кругах Эйлера и выделите области, изображающие множества Х и Y, если:
А = х х 2n, n N;
В = х х 3n, n N; С = х х 4n, n N.
Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера. Укажите характеристическое свойство элементов множества: Х = А \ (В С).
Выделите на чертеже область, изображающую множество Х, если: А – множество прямоугольников;
В – множество квадратов; С – множество трапеций.
Из множества М выделите три подмножества: А, В, С. Постройте для данных множеств круги Эйлера, установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М. Задайте описанием характеристического свойства элементов каждую область, если: М – множество многоугольников;
А – множество треугольников;
В – множество четырехугольников; С – множество квадратов.
Изобразите геометрически следующие множества: А В, (В \ А) С, если А = [-2; 8], В = (-5; 6), С = R.
Законы де Моргана.
Даны множества А, В, С. Найдите множества: а) Х = (А В) С;
б) Y = А \
(В С) .
Изобразите множества А, В, С на кругах Эйлера и выделите области, изображающие множества Х и Y, если:
А = х х 3n, n N;
В = х х 4n, n N;
С = х х 3n -1, n N.
Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера. Укажите характеристическое свойство элементов множества: Х = А \ (В С).
Выделите на чертеже область, изображающую множество Х, если: А – множество трапеций;
В – множество четырехугольников, имеющих прямой угол;
С – множество квадратов.
Из множества М выделите три подмножества: А, В, С. Постройте для данных множеств круги Эйлера, установите на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М. Задайте описанием характеристического свойства
элементов каждую область, если: М – множество четырехугольников;
А – множество трапеций;
В – множество четырехугольников, имеющих угол 45 градусов.
С – множество параллелограммов.
Изобразите геометрически следующие множества на числовой оси:
А В, А \ В, А В,
В \ А,
А В, если А = (-5; 3], В = (-2; 6).
Свойства объединения множеств.
Даны множества А, В, С. Найдите множества: а) Х = (А В) С;
б) Y = А \
(В С) .
Изобразите множества А, В, С на кругах Эйлера и выделите области, изображающие множества Х и Y, если:
А = х х 4n, n N;
В = х х 2n, n N;
С = х х 3n -1, n N;
Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера. Укажите характеристическое свойство элементов множества: Х = А \ (В С).
Выделите на чертеже область, изображающую множество Х, если: А – множество трапеций;
В – множество параллелограммов;
С – множество четырехугольников, имеющих угол 30 градусов.
Из множества М выделите три подмножества: А, В, С. Постройте для данных множеств круги Эйлера, установите на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М. Задайте описанием характеристического свойства элементов каждую область, если: М – множество треугольников;
А – множество треугольников, имеющих угол 75
градусов;
В – множество прямоугольных треугольников; С – множество равнобедренных треугольников.
Изобразите геометрически следующие множества:
А В, А × (В С), если А = [-1; 5], В = (-3; 5), С = R.
Вариант 5Разбиение множества на классы.
Даны множества А, В, С. Найдите множества: а) Х = (А В) С;
б) Y = А \
(В С) .
Изобразите множества А, В, С на кругах Эйлера и выделите области, изображающие множества Х и Y, если:
А = х х 2n, n N;
В = х х 3n, n N;
С = х х 3n -1, n N.
Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера. Укажите характеристическое свойство элементов множества: Х = А \ (В С).
Выделите на чертеже область, изображающую множество Х, если: А – множество квадратов;
В – множество трапеций; С – множество ромбов.
Из множества М выделите три подмножества: А, В, С. Постройте для данных множеств круги Эйлера, установите на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М. Задайте описанием характеристического свойства элементов каждую область, если: М – множество четырехугольников;
А – множество ромбов;
В – множество квадратов;
С – множество параллелограммов.
Изобразите геометрически следующие множества на числовой оси:
А В, А \ В, А В,
В \ А,
А В, если А = (-4; 2], В = (0; 5].
Свойства объединения множеств.
Даны множества А, В, С. Найдите множества: а) Х = (А В) С;
б) Y = А \
(В С) .
Изобразите множества А, В, С на кругах Эйлера и выделите области, изображающие множества Х и Y, если:
А = х х 3n, n N;
В = х х 4n, n N; С = х х 2n, n N.
Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера. Укажите характеристическое свойство элементов множества: Х = А \ (В С).
Выделите на чертеже область, изображающую множество Х, если: А – множество четырехугольников;
В – множество параллелограммов; С – множество ромбов.
Из множества М выделите три подмножества: А, В, С. Постройте для данных множеств круги Эйлера, установите на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М. Задайте описанием характеристического свойства элементов каждую область, если: М – множество треугольников;
А – множество прямоугольных треугольников; В – множество равнобедренных треугольников; С – множество остроугольных треугольников.
Докажите следующие тождества, используя круги Эйлера:
А \ (А \ В) = А В; А \ (В С) = (А \ В) (А \ С).
Пересечение множеств.
Даны множества А, В, С. Найдите множества: а) Х = (А В) С;
б) Y = А \
(В С) .
Изобразите множества А, В, С на кругах Эйлера и выделите области, изображающие множества Х и Y, если:
А = х х 2n -1, n N;
В = х х 4n, n N; С = х х 2n, n N.
Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера. Укажите характеристическое свойство элементов множества: Х = А \ (В С).
Выделите на чертеже область, изображающую множество Х, если: А – множество прямоугольников;
В – множество ромбов;
С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол.
Из множества М выделите три подмножества: А, В, С. Постройте для данных множеств круги Эйлера, установите на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М. Задайте описанием характеристического свойства
элементов каждую область, если: М – множество четырехугольников;
А – множество квадратов;
В – множество параллелограммов; С – множество трапеций.
Изобразите геометрически следующие множества на числовой оси:
А В, А \ В, А В,
В \ А,
А В, если А = [1; 8], В = (-2; 6].
Свойства пересечения множеств.
Даны множества А, В, С. Найдите множества: а) Х = (А В) С;
б) Y = А \
(В С) .
Изобразите множества А, В, С на кругах Эйлера и выделите области, изображающие множества Х и Y, если:
А = х х 4n, n N;
В = х х 2n, n N;
С = х х 3n -1, n N.
Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера. Укажите характеристическое свойство элементов множества: Х = А \ (В С).
Выделите на чертеже область, изображающую множество Х, если: А – множество прямоугольных треугольников;
В – множество равнобедренных треугольников; С – множество тупоугольных треугольников.
Из множества М выделите три подмножества: А, В, С. Постройте для данных множеств круги Эйлера, установите на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М. Задайте описанием характеристического свойства элементов каждую область, если: М – множество многоугольников;
А – множество четырехугольников; В – множество квадратов;
С – множество трапеций.
Докажите следующие тождества, используя круги Эйлера:
А В = А \ (А \В); (А \ В) (А \ С) = А \ (В С).
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Раздел 1. «Общие основы курса математики»
Р – множество натуральных чисел, больших 7 и меньших 14. Укажите, какие из нижеприведенных чисел принадлежат множеству Р:
А) 14;
Б) 13;
В) 5;
Г) 10.
Добавьте слово в готовый ответ:
Множество, не содержащее ни одного объекта, называется и обозначается символом .
Дано множество А={ 4, 8, 12, 16, 20, 24, … }. Укажите его характеристическое свойство.
А) {х | х=2n, nЄN };
Б) {х | х=4n, nЄN };
В) {х | хЄN, х24 }; Г) {х | хЄN, 4х24 }.
Заполните пробел:
Известно, что А–множество учащихся некоторого класса, играющих в шахматы, В-множество учащихся этого класса, играющих в шашки. Тогда
характеристическим свойством элементов множества
A B
является
Добавьте слово в готовый ответ: Множество В является
множества А, если каждый
элемент множества В является также элементом множества А.
Дано множество С={ -4,5; -2; 0; 0,2; 4; 8 }. Укажите его подмножество, элементами которого являются целые неотрицательные числа.
А) { -2; 0; 4; 8 };
Б) { 0; 0,2; 4; 8 };
В) { 0; 4; 8 };
Г) { 4; 8 }.
Из двух групп выражений определите такие, которые представляют собой равные множества (укажите соответствие):
| 1) P ( M K ) 2) P M K 3) P M P K 4) P\( M K ) | А)(P\M) (P\K) Б) P ( M K ) В)( M P ) K Г) ( M P ) ( P K ) |
Даны два множества: Х = {1,3,5 } и Y = { 0,1,3,5,7 }. Укажите, какие из нижеприведенных высказываний истинны:
А) множество Р = { 3,0,1,7,5 } равно множеству Y;
Б) множество Х является подмножеством множества Y; В) множество Y является подмножеством множества Х; Г) множества Х и Y пересекаются.
Известно, что А и В – произвольные множества. Укажите соответствие:
| A B A B А \ В A B | А) {х | хЄА или хЄВ} Б) {х| хЄА и хЄВ} В) {(х;у) | хЄА и уЄВ} Г) {х | x A и x B } |
Заполните пробел:
Пересечение множеств А и В – это .
Найдите пересечение множеств А и В, если А=10;4, В=0;8. А) 10;8;
Б) 0;4; В) 10;8; Г) 0;4.
Заполните пробел:
Известно, что А = { f, g, h, n, m } и В = { a, b, f, h, t, p }. Тогда
A B
равно
.
Найдите объединение множеств А и В, если А= 0;3, В= 1;. А) 0;;
Б) 0;;
В) 1;3;
Г) 3;.
Заполните пробел:
Разность множеств А и В – это .
Найдите разность множеств А и В, если А= ;2, В= 1;. А) ;1;
Б) 1;2;
В) ;1;
Г) 2;.
Заполните пробел:
Известно, что А={n, m}, В={a,b,f }. Тогда
A B
равно
.
Известно, что А,В и С – произвольные множества. Укажите соответствие:
| 1) коммутативность пересечения 2)коммутативность объединения ассоциативность объединения дистрибутивность объединения относительно пересечения |
| А) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) Б) A B = B A В) A B = B A Г) ( A B ) C = A ( B C ) |
Укажите, какие из нижеприведенных равенств верные, если А - произвольное множество:
А) A = А;
Б) A ; В) A A A ; Г) A A A .
Укажите, какие из следующих отношений не являются отношением эквивалентности на множестве Х, если Х – множество прямых плоскости: А) «х параллельна у»;
Б) «х и у имеют общую точку»; В) «х перпендикулярна у»;
Г) «х пересекает у».
Укажите соответствие:
| размещения без повторений из n элементов по m элементов сочетания без повторений из n элементов по m элементов перестановки без повторений из n элементов
перестановки с повторениями из n элементов |
| А)Pn
Б)Anm В)Cnm Г)P(n) 1, 2,…, |
Добавьте слово в готовый ответ:
Размещение без повторений из n элементов по m элементов – это
, составленный из m неповторяющихся элементов множества, в котором n элементов.
Из 30 учащихся назначают дежурных. Сколькими способами это можно сделать, если один из них становится старшим?
А) 810;
Б) 435;
В) 900;
Г) 870.
Укажите, в каких из нижеприведенных задач рассматриваются размещения из n элементов по m элементов:
А) Из 20 учащихся класса надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?
Б) Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек?
В) Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 3,4,5 и 6?
Г) Сколькими способами можно выбрать четыре краски из 10 различных красок?
Сколькими способами можно составить трехцветный флаг (три горизонтальные полосы одинаковой ширины), если имеется материал 6 различных цветов?
А) 360;
Б) 20;
В) 120;
Г) 216.
Определите, сколько различных слов, каждое из которых содержит 4 буквы, можно составить из букв слова выборка?
Сколько различных слов, каждое из которых состоит из семи букв можно составить из букв слова событие ?
А) 5040;
Б) 720;
В) 40320;
Г) 5042.
Определите, каким числом способов 10 человек могут находиться в очереди?
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если каждую цифру можно использовать несколько раз?
А) 216;
Б) 125;
В) 243;
Г) 60.
Добавьте слово в готовый ответ:
Сочетание без повторения из n элементов по m элементов – это m- элементное множества, содержащего n элементов.
На плоскости дано 10 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно?
А) 100;
Б) 90;
В) 45;
Г) 120.
Пятнадцать человек сыграли друг с другом по одной партии в шахматы. Определите, сколько было сыграно партий?
Укажите, какие из следующих пар событий являются несовместными: А) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: а) делится на 10; б) делится на 11;
Б) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно: а) является четным, б) кратно пяти;
В) сумма двух выбранных наудачу однозначных чисел: а) кратна двум, б) кратна пяти;
Г) наудачу выбранная деталь является: а) стандартной, б) нестандартной.
Укажите соответствие:
| Задачи Сколько двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2,3,4,7? Сколько двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2,3,4,7, не повторяя их? Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2,4,5, не повторяя их? Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2,4,5? |
| Формулы А)3!
Б) 4! (4 2)!
В)33 Г)42 |
Добавьте слово в готовый ответ:
Два события называются , если они не могут появляться одновременно при одном и том же исходе испытания.
Добавьте слово в готовый ответ:
Исходы называются , если из соображений симметрии имеются основания считать, что любой исход испытания не более возможен, чем другие.
Добавьте слово в готовый ответ:
Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним
.
Определите отношения между объемами понятий а, в и с, если а-
«четырехугольник», в – «параллелограмм», с- «прямоугольник»
Добавьте слово в готовый ответ:
Содержание понятия – это множество всех свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Укажите ближайшее для прямоугольника родовое понятие: А) квадрат;
Б) четырехугольник; В) параллелограмм; Г) многоугольник.
Укажите соответствие:
| Понятия деревья, кустарники, травы подосиновики, опята, сыроежки луч, отрезок, треугольник птицы, насекомые, рыбы |
| Родовое понятие А)грибы Б)геометрическая фигура В)растения Г)животные |
Сформулируйте определение ромба. Выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие и видовое отличие
Добавьте слово в готовый ответ:
Высказыванием называют , относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.
Укажите, какие из следующих предложений являются высказываниями:
А) х=1 является решением неравенства х+72; Б) 2х-37;
В) х+3y=2;
Г) Существует натуральное число х такое, что х-2=7.
Укажите, какие из нижеприведенных высказываний истинны:
А) любое однозначное число является решением неравенства х+31; Б) во всяком прямоугольнике диагонали равны;
В) в любом параллелограмме все стороны равны; Г) квадрат любого целого числа неотрицателен.
Добавьте слово в готовый ответ:
Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обращается в
при подстановке в него значений переменной из множества Х.
Укажите множество истинности высказывательной формы 3х-12 0, заданной на множестве Х=N:
А) { 1,2,3,4 };
Б) { 1,2,3 };
В) ;4; Г) ;4
На множестве N задан предикат А(х): «число х – делитель 15». Найдите множество истинности данного предиката.
А) { 1,3,15 };
Б) { 3,5,15 };
В) { 1,3,5 };
Г) { 1,3,5,15 };
Укажите множество истинности высказывательной формы 4(х-8)≥0, заданной на множестве Х=R:
А) ;8;
Б) { 1,2,3,4,5,6,7,8 };
В) 8;; Г) 8;
Укажите, какие из высказываний каждой пары являются отрицаниями друг друга:
А) всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным; всякий прямоугольный треугольник не является равнобедренным
Б) некоторые натуральные числа делятся на 5; все натуральные числа не делятся на 5;
В) число 12 – четное и делится на 4;
число 12 не является четным или не делится на 4; Г) все натуральные числа кратны 5;
все натуральные числа не кратны 5;
Укажите, какие из данных пар предложений находятся в отношении следования:
А) треугольник АВС – равносторонний; треугольник АВС – равнобедренный.
Б) число х делится на 3; число х делится на 6.
В) а4 и а5;
Г) четырехугольник АВСD – ромб; четырехугольник АВСD – квадрат.
Используемая литература
Канбекова Р.В. Основы начального курса математики: Учебное пособие. Стерлитамак, 1997.- 238 с.
Контрольная работа № 1 и методические рекомендации к их выполнению для студентов / Сост. Гафуров Г.Г., Салехова Л.Л. и др.
Казань: КГПУ, 2002. – 16 с.
Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике. – М.: Просвещение, 1985. – 183 с.
Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений. – М.: Издательский центр
«Академия», 2002.- 424 с.
Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики.
М.: Просвещение, 1998. – 320 с.
ОСНОВЫ КУРСА МАТЕМАТИКИ Сборник самостоятельных и контрольных работ (124.45 KB)
0
199
2
Нравится
0
