Общие методы решения уравнений (разработка урока)

Цель: Познакомить обучающихся с общими методами решения уравнений.

Задачи урока:

- Создание условий для открытия новых знаний: методов решения уравнений, формирования умений и навыков правильно определять и применять эти методы при решении уравнений любых видов, переносить знания в новую ситуацию.

- Формирование умений осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль.

- Воспитание ответственного отношения к коллективной деятельности, высокой познавательной активности и самостоятельности.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые гости, приглашаю Вас на урок математики. Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

2. Самоопределение к деятельности.

- Ребята, как вы думаете, о чем пойдет речь на нашем уроке? - об уравнениях.

3. Актуализация знаний. Систематизация знаний, умений и навыков по теме «Уравнения».

- Что называется уравнением? - это равенство, содержащее переменную.

- Что называется корнем уравнения? – значение переменной, которое приводит уравнение в верное равенство.

- Что значит решить уравнение? – значит найти корни уравнения.

- Какие уравнения мы называем равносильными? – два уравнения с одной переменной f(x) = g(x) и p(x) = h(x) называются равносильными, если множество их решений совпадают, другими словами два уравнения будут равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

- Что знаете об уравнение-следствие? – если каждый корень уравнения f(x) = g(x) – (1) является корнем уравнения p(x) = h(x) – (2), то уравнение 2 является следствием уравнения 1.

- Какие этапы решения уравнений мы выделяем? – технический, анализ решения и проверка.

- Сформулируйте теоремы о равносильности уравнений.

- Если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

- Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, по получится уравнение, равносильное данному.

- Показательное уравнение аf(x) = аg(x) (где а > 0, а = 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

- Если обе части уравнения f(x) = g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое имеет смысл в области определения уравнения и нигде в области определения не обращается в нуль, то получится уравнениеf(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному.

- Если обе части уравнения f(x) = g(x) неотрицательны в области определения, то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень п получится уравнение, равносильное данному f(x)п = g(x)п.

- Если f(x) > 0, g(x) > 0, то логарифмическое уравнение logaf(x) = logag(x) (где а > 0, а = 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

- Что такое область определения уравнения? – или ОДЗ – это множество тех значений переменной х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x).

- Когда происходит расширение области определения? – избавление от знаменателей, избавление от корней четной степени, избавление от знаков логарифмов.

- К чему это приводит? – к появлению посторонних корней.

- Причины потери корней? – деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (кроме тех случаев, когда точно известно, что в области определения это выражение не обращается в нуль), сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

Полную информацию смотрите в файле. 

Математика 11 класс

Тема урока: Общие методы решения уравнений.

Цель: Познакомить обучающихся с общими методами решения уравнений.

Задачи урока:

• Создание условий для открытия новых знаний: методов решения уравнений, формирования умений и навыков правильно определять и применять эти методы при решении уравнений любых видов, переносить знания в новую ситуацию.

• Формирование умений осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль.

• Воспитание ответственного отношения к коллективной деятельности, высокой познавательной активности и самостоятельности.

Оборудование:

• Дидактические материалы – опорные конспекты.

• Компьютер.

• Мультимедио.

• А. Г. Мордкович Алгебра 11 . Учебник для общеобразова­тельных учреждений. Мнемозина 2008 года.

• А. Г. Мордкович Алгебра 11 . Задачник для общеобразова­тельных учреждений. Мнемозина 2008 года.

Основные формы работы учащихся во время урока:

• фронтальная,

• индивидуальная,

• групповая.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые гости, приглашаю Вас на урок математики. Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

2. Самоопределение к деятельности.

• Ребята, как вы думаете, о чем пойдет речь на нашем уроке? - об уравнениях.

3. Актуализация знаний. Систематизация знаний, умений и навыков по теме «Уравнения».

• Что называется уравнением? - это равенство, содержащее переменную.

• Что называется корнем уравнения? – значение переменной, которое приводит уравнение в верное равенство.

• Что значит решить уравнение? – значит найти корни уравнения.

• Какие уравнения мы называем равносильными? – два уравнения с одной переменной f(x) = g(x) и p(x) = h(x) называются равносильными, если множество их решений совпадают, другими словами два уравнения будут равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

• Что знаете об уравнение-следствие? – если каждый корень уравнения f(x) = g(x) – (1) является корнем уравнения p(x) = h(x) – (2), то уравнение 2 является следствием уравнения 1.

• Какие этапы решения уравнений мы выделяем? – технический, анализ решения и проверка.

• Сформулируйте теоремы о равносильности уравнений.

  • Если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

  • Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, по получится уравнение, равносильное данному.

  • Показательное уравнение а^f(x) = а^g(x) (где а 0, а = 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

  • Если обе части уравнения f(x) = g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое имеет смысл в области определения уравнения и нигде в области определения не обращается в нуль, то получится уравнениеf(x)h(x) = g(x)h(x) , равносильное данному.

  • Если обе части уравнения f(x) = g(x) неотрицательны в области определения, то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень п получится уравнение, равносильное данному f(x)^п = g(x)^п.

  • Если f(x) 0, g(x) 0, то логарифмическое уравнение log_af(x) = log_ag(x) (где а 0, а = 1)равносильно уравнению f(x) = g(x).

• Что такое область определения уравнения? – или ОДЗ – это множество тех значений переменной х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x).

• Когда происходит расширение области определения? – избавление от знаменателей, избавление от корней четной степени, избавление от знаков логарифмов.

• К чему это приводит? – к появлению посторонних корней.

• Причины потери корней? – деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (кроме тех случаев, когда точно известно, что в области определения это выражение не обращается в нуль), сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

4. Открытие «новых» знаний.

• Как вы думаете, что же мы сегодня будем делать с уравнениями? – решать уравнения.

• Рассмотрим общие методы решения уравнений.

• А какие методы вы знаете из курса математики 5-9 классов? – замена, введение новой переменной, графический, разложение на множители.

• Рассмотрим общие методы решения уравнений.

1 метод: замена данного уравнения более простым уравнением.

• Решить уравнение:

• Какой способ применяли? – замена одного уравнения более простым.

• При решении каких уравнений мы его применяем? – показательных, логарифмических, иррациональных.

• Всегда ли можно применять этот способ? – нет.

• Решить уравнение:

• Этот метод можно применять только тогда, когда y=h(x) – монотонная функция, если немонотонная, то этот метод применять нельзя, так как возможно потеря корней.

1 метод Замена уравнения

уравнением

При решении показательных уравнений

(а0, а≠1)

При решении логарифмических уравнений

При решении иррациональных уравнений

.

2 метод: разложение на множители.

• Решить уравнение:

• Какой метод применили? – разложение на множители.

• В чем он заключается? – уравнение f(x)g(x)h(x) = 0? заменяется совокупностью уравнений f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0. Решив совокупность этих уравнений, выбирают те корни, которые входят в ОДЗ исходного уравнения, остальные корни являются посторонними. Необходима проверка корней!

• Это способ полезен, если в уравнение входят функции разного вида.

3 метод: введение новой переменной.

• Решить уравнение:

• Какой метод применили? – введение новой переменной.

• В чем он заключается? - Уравнение преобразуем к виду:

вводим новую переменную: решаем совокупность уравнений

• Новая переменная иногда очевидна сразу, а иногда «проявляется» в ходе некоторых преобразований. Важно не забыть возвратиться к исходной переменной.

4 метод: функционально-графический.

• В чем он заключается? - для решения уравнения строим графики функций .

Выдаются опорные конспекты всем учащимся.

5. Физминутка.

6. Этап первичной отработки умений и навыков по выбору метода решения уравнений

Группам (на парты) выдаются задания на карточках.

Предлагается каждой группе решить по одному уравнению.

7. Этап проверки первичных умений и навыков применения изученных методов решения уравнений (тест, практическая часть выполняется на компьютере).

• Выдаются каждому учащемуся тесты.

• Взаимопроверка.

8. Подведение итогов (рефлексия).

Да, мир познания не гладок.
И знаем мы со школьных лет
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет!

9. Оценка работ.

10. Домашнее задание.